C3.

[Afu-Ra]

Подскажите кое-что в одной задачке

Решите неравентсво:

`log_(|x+2|)(4+7x-2x^2)<=2`

Решение

Решение из книги.

Знак множителя `(|x+2|-1)` совпадает со знаком `((x+2)^2-1)` по замене 6. Получим равносильную систему неравенств

Замена 6: `|f|-|g|=(f-g)(f+g)`

Как они так заменяют объясните пожалуйста, я что-то понять не могу.

@темы: ЕГЭ

Comments

[Robot]

Какая хоть книга?
==
`|a| > |b|` равносильно `|a|^2 > |b|^2` и равносильно `a^2 > b^2`

Всякое такое интересное, упрощающее решение некоторых неравенств, можно почитать тут:
alexlarin.narod.ru/ege/2011/C3-2011.pdf

Источник

Взято отсюда

Конечно, нужно еще уметь всё доказывать (т.е. понимать, почему так), а не принимать на веру.

UPD: Кстати, Ваши фотографии, видимо, оттуда же (23 страница), там же рядом с этим примером (стр. 22-23) есть теория с доказательствами.

[Afu-Ra]

Ну вот было выражение `(|x+2|-1)` , они заменили его на `((x+2)^2-1)` . Они почему его в квадрат возвели, там же квадрата не было, я что-то не допонимаю.
Да из той книги задача.

[Robot]

Мы решаем неравенство
Знак `(|x-1|-1)` совпадает со знаком `((x-1)^2-1)`
( |x-1| > 1 тогда и только тогда, когда (x-1)^2>1
|x-1| < 1 тогда и только тогда, когда (x-1)^2 < 1

`|x+2|-1 <=> |x+2|-|1|`
Сделав замену `f=x+2, g=1`
Получим `|f|-|g|`
По доказанной теореме (или утверждению), знак `|f|-|g|` совпадает со знаком `|f|^2-|g|^2`, что эквивалентно `(f-g)(f+g)`
Заменяя обратно предпоследнее полученное выражение получаем:
`[(x+2)^2-1^2] <=> [(x+2)^2-1]`

Знак всего выражения `|x+2|-1` совпадает со знаком выражения `(x+2)^2-1` при любых иксах.
Т.е. `sign(|x+2|-1)=sign((x+2)^2-1)` для любых `x in RR`
где `sign(x)={(-1, x < 0),(0, x = 0),(1, x > 0):}`

[Afu-Ra]

Ну все я понял, я тогда что-то не заметил `f^2-g^2`.

В этой же задаче можно было ОДЗ найти и там видно что `|x+2|=x+2`.

ОДЗ: `-0.5<x<4`

можно же было так решать?

По-моему, решать каким-либо образом никто в этом пространстве `V^3` не запрещает. Как хотите, так и решайте.

[Afu-Ra]

Нет я просто спрашиваю, что правильно хоть нет такой способ.

А вот какие такие еще переходы есть типо `|f|-|g|=(f-g)(f+g)`, которые редко попадаются.

Может у вас есть задачи с примерами, на такие переходы. Или примеры задач на этот переход `|f|-|g|=(f-g)(f+g)`.

Любая задача, где есть разность модулей в качестве множителя в произведении. Нельзя еще забыть, что модуль появляется при извлечении корня четной степени из выражения в той же степени, т.е. `root{2n}{f^(2n)(x)}=|f(x)|`, а также модуль любит выскакивать при перенесении четного показателя степени у подлогарифмического выражения в множитель перед логарифмом, т.е. `log_(g(x)) (f^(2n)(x))= 2n*log_(g(x)) |f(x)|` (плюс еще еще логарифм суммы/разности равен сумме/разности логарифмов. у которых подлогарифмические выражения под модулем — свойства логарифма).

В том сборнике есть много неравенств для самостоятельного решения. Посмотрите в них. Наверняка и на такой случай должно быть.

[Afu-Ra]

Спасибо за помощь.