1. Имеются 2 поезда, в каждом из которых 15 одинаковых вагонов. Оба поезда движутся навстречу друг другу с постоянными скоростями. Известно, что через 28 секунд после того, как их первые вагоны встретились, Саша, сидящий в 3 вагоне одного поезда, поравнялся с Валерой, сидящем в другом поезде, а еще через 32 секунды последние вагоны поездов разминулись. В каком вагоне сидел Валера.
2. Найти площадь фигуры, заданной условиями:
`sqrt(1-x)+2x>0`
`-1-x^2<=y<=2+sqrt(x)`
3. Из сферы какого наименьшего радиуса можно вырезать правильную четырехугольную пирамиду с длиной ребра основания 14 и апофемой 12?
4. Решить неравенство
`log_5(5x^2+2*x)*log_5(5+2/x)>log_5(5x^2)`
5. Две окружности касаются друг друга внутренним образом в точке K. Хорда AB большей окружности касается меньшей окружности в точке L, причем `AL=10. (AK)/(KB)=2/5`
Найти BL.
6. При каких значениях a,b и c множество действительных корней уравнения `x^5+2x^4+ax^2+bx=c
состоит в точности из чисел -1 и 1?
7. Какое минимальное количество карандашей (одинаковое) нужно положить в каждую из 6 коробок так, чтобы в любых 4 коробках было 26 цветов (цвета определены). Карандашей достаточное количество.
8. Функция такова, что сумма корней уравнения
`f(sinx)=0` на отрезке `[(3pi)/2;2pi]` равна `33pi`
а сумма корней ур-я
`f(cosx)=0` на отрезке `[pi;(3pi)/2]` равна `23pi`.
Какова сумма корней второго ур-я на отр-ке `[pi/2;pi]`
2. Найти площадь фигуры, заданной условиями:
`sqrt(1-x)+2x>0`
`-1-x^2<=y<=2+sqrt(x)`
3. Из сферы какого наименьшего радиуса можно вырезать правильную четырехугольную пирамиду с длиной ребра основания 14 и апофемой 12?
4. Решить неравенство
`log_5(5x^2+2*x)*log_5(5+2/x)>log_5(5x^2)`
5. Две окружности касаются друг друга внутренним образом в точке K. Хорда AB большей окружности касается меньшей окружности в точке L, причем `AL=10. (AK)/(KB)=2/5`
Найти BL.
6. При каких значениях a,b и c множество действительных корней уравнения `x^5+2x^4+ax^2+bx=c
состоит в точности из чисел -1 и 1?
7. Какое минимальное количество карандашей (одинаковое) нужно положить в каждую из 6 коробок так, чтобы в любых 4 коробках было 26 цветов (цвета определены). Карандашей достаточное количество.
8. Функция такова, что сумма корней уравнения
`f(sinx)=0` на отрезке `[(3pi)/2;2pi]` равна `33pi`
а сумма корней ур-я
`f(cosx)=0` на отрезке `[pi;(3pi)/2]` равна `23pi`.
Какова сумма корней второго ур-я на отр-ке `[pi/2;pi]`
-
-
21.03.2011 в 10:09У меня тоже в 11-ом
А как у вас в восьмой могло 13 пи получиться?
Ну там же промежуток меньший - отсюда и сумма меньше. Я прибавлял\вычитал `pi/2` и пока шаманил получилось `23pi-20*pi/2`
-
-
21.03.2011 в 10:54Но у меня получилось, что сумма корней `17pi`
-
-
21.03.2011 в 11:09-
-
21.03.2011 в 11:41пусть у нас уравнение `f(sinx)=0` сводится к решению уравнений вида `sinx=a_k`, и при этом n из них для `-1 <=a_k <=0`. Каждое такое уравнение имеет ровно один корень `b_k in [3pi/2;2pi]`
Уравнение `f(cosx)=0` будет иметь тогда на промежутке [pi;3pi/2] корни `b_k-pi/2`
`b_1+b_2+...+b_n=33pi`
`b_1+b_2+...+b_n -(n*pi/2)=23pi`
Вычитая из первого второе, получаем, что `n=20`
Далее я от `b_k` отошла.
Если рассматривать уравнения `cosx=a_k` для `-1 <=a_k <=0`, то на промежутке [pi;3pi/2] эти корни можно записать в виде `pi+y_k`, а на промежутке `[pi/2;pi]` в виде `pi-y_k` (`y_k in[0;pi/2])
Так как сумма корней на [pi;3pi/2] равна `23pi`, а корней `n=20`, то получаем, что `20pi+y_1+y_2+..+y_20=23pi`, то есть сумма `y_k` равна `3pi`
А тогда на промежутке `[pi/2;pi]` сумма корней будет `20pi-3pi=17pi`
-
-
21.03.2011 в 11:51-
-
21.03.2011 в 11:58Еще узнал возмутительный факт, что некоторые на олимпиаду пришли подготовленные и с решениями заученными(( Тоже как то расстраивает этот факт..
-
-
21.03.2011 в 12:04Увы! Вот это и есть коррупция.
-
-
21.03.2011 в 12:05У меня в первой получается, что Валера сидел вне поезда.
Правда я все же получил Ваш ответ, но только посчитав, что 32 секунды прошли после встречи Валеры и Саши. Однако в задаче этого нет, как мне кажется. И мое прочтение мне все равно больше нравиться. Раз нет четкого указания на то, что изменилась точка отсчета, то она не должна меняться.
Если же считать, что она изменилась, то действительно Валера должен сидеть либо в 11, либо в 10. Но, модель не полная.
Последнее меня еще раз убеждает, что мое прочтение правильное. Зачем додумывать модель, если она не важна...
-
-
21.03.2011 в 12:05-
-
21.03.2011 в 12:06А откуда узнали?
-
-
21.03.2011 в 12:08Heor, вот так правильно. Извиняюсь.
-
-
21.03.2011 в 12:08-
-
21.03.2011 в 12:24-
-
21.03.2011 в 12:27-
-
21.03.2011 в 12:35А ЕГЭ... Когда больше 75 баллов (по прошлому году) в стране набирает в целом 12- 13 тыс. чел., а это соответствует 20 первичных, т.е. их можно набрать без С4, C5, С6), то понятно, что знаний у школьников ...
Вот поэтому в ход и идут всевозможные способы порадеть родному человечку.
PS Насколько помню, мехмат МГУ берет на бюджет 400 чел.
-
-
21.03.2011 в 12:37-
-
21.03.2011 в 13:03