Пожалуйста помогите решить... Стереометрия

[Anarchy Zero]

В правильной шестиугольной призме `A...F_1`, все ребра которой равны 1 найдите синус угла между:
1) прямой `BD_1` и плоскостью `BCE_1`

2) прямой `B_1E` и плоскостью `BCE_1`

Решение:

Первая задача:
1) Находим точку пересечения `N` прямой `BD_1` и `(E_1C_1C)`. Линия пересечения находится из прямоугольного треугольника `DBD_1`
2) Из точки `N` опускаем пер-ляр `NO` на `(BCE_1)` (`NO=sqrt(3)/4`)
3) `sin<NBO=sqrt(3)/8`

Вторая задача:
1) Треугольник `BB_1F_1` прямоугольный. Опускаю высоту `B_1T=sqrt(3)/2`
2)Прямые `B_1E`и `BE_1` являются диагоналями прямоугольника BB1EE1 и делятся в точке О пополам. `B_1O=sqrt(5)/2`
3) `sin<B_1OT=sqrt(15)/5`
В ответе `sin=sqrt(15)/10`

@темы: Стереометрия, ЕГЭ

Comments

[Heor]

. Что неправильно?

Прямая `D_1T` не перпендикулярна плоскости `E_1D_1C` `BCE_1`!

[Anarchy Zero]

Heor Тогда откуда проводить пер-ляр?

[Heor]

Anarchy Zero
Конечно, не так. Извините. Описался.
Если сомневаетесь, попробуйте доказать перпендикулярность, но у Вас ничего не получится.

Для построения искомого перпендикуляра необходимо построить линии пересечения плоскостей `BCE_1` с `E_1ED_1` и `CC_1D_1`
Для этого можно, например, построить перпендикуляр из точки C на плоскость `EDE_1`. Это и даст одну из линий пересечения.
Вторую строите по аналогии. После чего, становиться очевидным способ построения перпендикуляра из точки D на `(BCE_1)`

[Robot]

Я сделала рисунки в превью море
А то очень неудобно смотреть

[Heor]

Хотя, учитывая, что Вам необходим угол, то Вам стоит сразу строить проекцию `BD_1` на `(BCE_1)`
Это тоже не сложно. Есть множество вариантов.
На мой взгляд, самый простой состоит в том, что бы опустить перпендикуляр на `(BCE_1)` из точки пересечения прямой `BD_1` плоскостью `(CE_1C_1)`

[Anarchy Zero]

Линию пересечения нашел из прямоугольного треугольника `BD_1D`. Пусть она будет `N`. Плоскость `(CE_1C_1)`- средняя линия треугольника, т.к она пар-на `D_D1`. Она делит катет `BD` и гипотенузу `BD_1` пополам. Из полученного прямоугольного треугольника опустил высоту `NO`,`h=sqrt(3)/4`. `sin<NBO=sqrt(3)/8`. Если правильно, то добавлю решение в первый пост. Спасибо.

[Heor]

Anarchy Zero
Пожалуйста.

Посмотрите на то, каким плоскостям будут принадлежать прямые `BE_1` и `EB_1`

[Heor]

Я посмотрел Ваше решение. Вроде бы все верно.

Еще не совсем понимаю как находить угол если прямаю пересекает плоскость. Может там ошибка?

Прямая и должна пересекать плоскость, иначе она будет параллельна плоскости и ни о каком угле и речи быть не может.

Угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

[Anarchy Zero]

`EB_1` принадлежит `(EBE_1)`, `BE_1` принадлежит `(BCE_1)` Диагонали прямоугольников.
Прямая и должна пересекать плоскость, иначе она будет параллельна плоскости и ни о каком угле и речи быть не может.
Знаю, что должна. Обычно она пересекает где-нибудь на "конце" плоскости. А сейчас нет, поэтому были сомнения. Если решение верное, то мои опасения подтвердились. В пособии есть немало задач (1-2 для одной главы много) с опечатками. В ответе, например, указывают значение синус угла, а просят найти косинус и т.п.

[Heor]

Anarchy Zero
`BE_1` тоже принадлежит плоскости `(EBE_1)`. И они диагонали одного и того же прямоугольника. Соответственно, это и доказывает тот факт, что они пересекаются в точке О.

[Anarchy Zero]

Heor Да.
Минут через 30 добавлю решение для первой задачи. Еще раз спасибо.

[Heor]

Anarchy Zero

Знаю, что должна. Обычно она пересекает где-нибудь на "конце" плоскости. А сейчас нет, поэтому были сомнения. Если решение верное, то мои опасения подтвердились. В пособии есть немало задач (1-2 для одной главы много) с опечатками. В ответе, например, указывают значение синус угла, а просят найти косинус и т.п.

Я пока еще не пересчитывал численно. Я посчитаю.
У прямой нет конца, как и начала. Так что вы сами всегда решаете, какие именно отрезки прямых рассматривать.

[Гость]

Anarchy Zero Есть такой способ, векторный (метод координат на его основе).
Базис: `BC, BF, BB_1`, оси координат по базисным векторам. Длина вектора BF равна `sqrt(3)`. Уравнение плоскости `z=sqrt(3)y`, вектор нормали `bar(n)={0;1;-sqrt(3)}`, его длина =2.
`bar(BD_1)={1,5;0,5;1}`, его длина тоже 2. Скалярное произведение `bar(n)*bar(BD_1)=-sqrt(3)/2`.Дальше очевидно.

[Anarchy Zero]

Гость Спасибо, но я ничего не знаю о нём.

[Гость]

Anarchy Zero А что, в школе Вы геометрию не проходили?

[Heor]

Anarchy Zero
Это очень красивый способ. Вы вектора уже прошли? В каком Вы классе?

[Anarchy Zero]

Гость
Проходим.

Heor
В 11 классе. Что-то вроде этого проходили. Было несколько уроков по этой теме, но в общем виде. Нас учили как складывать векторы, умножать. Общее уравнение плоскости изучали. Но с самой системой координат (xyz) и векторами не работали.

[Гость]

Anarchy Zero Метод координат - очень мощный метод для решения задач. Координаты - коэффициенты разложения некоторого вектора по выбранному базису. Когда Вы ставите точку на плоскости и говорите что она имеет координаты `(x_0;y_0)`, на самом деле Вы задаете коэффициенты разложения вектора, проведенного из начала координат в эту точку по выбранному базису -единичным векторам, направленным по осям координат.
Зайдите на www.it-n.ru/board.aspx?cat_no=122925&tmpl=Threa... указанную страницу. Там есть работа учителя из Таганрога по методу координат, правда на кубе. Скачайте ее себе и попытайтесь разобраться. Была там еще одна работа, учителя з Кемерово, но ее удалили, к сожалению.

Задачи, с которыми Вы появились в сообществе - не самые простые. Не знаю, из какого пособия Вы их взяли, но в них трудно построить искомый угол (конечно, можно, если хочется). В задачах у нас в сообществе (посмотрите, есть разбор задач С2 из книг, выпущенных для подготовки к ЕГЭ) в большинстве задача все углы строятся проще. И решения в основном не используют метод координат. Но освоить его крайне полезно.
Успехов! Будут вопросы, задавайте.

[Anarchy Zero]

Спасибо вам. Метод обязательно буду изучать.
в большинстве задача все углы строятся проще
Радует.

[Heor]

Anarchy Zero
Здесь тоже не особо сложно. Проводите, плоскость содержащую `D_1D` и содержащую `E_1EC`. И уже потом работаете в ней.

Но векторный метод все равно на порядок проще и вернее.