Межрегиональная олимпиада школьников «САММАТ-2011»

[l Shift->stop->end l]

Межрегиональная олимпиада школьников «САММАТ» — ежегодная олимпиада по математике для всех желающих школьников 7–11-х классов. Историю «САММАТ» начали писать в 1993 году преподаватели Самарских ВУЗов, профессор Андреев А.А., профессор Соболев В.А. (Самарский государственный университет), профессор Радченко В.П. (Самарский государственный технический университет) при поддержке Самарского регионального отделения РАЕН (председатель – академик Астафьев В.И.). В организации и проведении последних олимпиад активное участие принимают призеры прошлых лет и выпускники ведущих Самарских вузов – Савин А.Н., д.т.н. Минаков И.В., к.ф.-м.н. Саушкин М.Н., к.ф.-м.н. Саушкин И.Н., к.ф.-м.н. Лыков К.В. к.ф.-м.н. Попов С.Ю., к.ф.-м.н. Лексина С.В., а также аспиранты и студенты старших курсов Самарских вузов.
Первоначально в олимпиаде принимали участие школьники 8-11-х классов, с 1998 года добавился 7-й класс, а с 2010-2011 учебного года и учащиеся 6-х классов.
Ежегодно в «САММАТ» принимает участие более 1000 человек, из школ Самарской, Ульяновской, Оренбургской, Пензенской областей, республик Башкортостан, Мордовия, Татарстан.
Олимпиада «САММАТ», стала традиционной олимпиадой по математике при СамГУ и проводится в первое (второе) воскресенье марта (в 2011 году - 13 марта). В последние три года олимпиада «САММАТ» вошла в Перечень олимпиад школьников.
Олимпиада проводится в два этапа:
- первый этап — отборочный тур;
- второй этап — заключительный тур.
В заключительном туре олимпиады принимают участие победители и призеры отборочного тура.
Время на выполнение заданий первого этапа составляет 3 астрономических часа (180 минут), второго — 4 астрономических часа (240 минут).
Страница Олимпиады
Условия задач заключительного тура "САММАТ-2011"
На этой странице можно скачать:
Условия задач отборочного тура "САММАТ-2011" (с ответами)
Условия и решения задач "САММАТ-2010"(которые выдавались на олимпиаде)
Условия задач "САММАТ-2009" и "САММАТ-2008"
Условия и решения задач "САММАТ-2007"
Перечень рекомендуемой литературы для подготовки к олимпиаде «САММАТ»

2011 -11 класс Заключительный тур
► 1. Саушкин И.Н. Купил Роман раков, вчера - мелких, по цене 510 крон за штуку, а сегодня - по 990 крон, но очень крупных. Всего на раков он истратил 25200 крон, из них переплаты из-за отсутствия сдачи составили от 160 до 200 крон. Сколько Роман купил раков вчера и сколько сегодня, если крона - самая мелкая денежная единица?
► 2.Кузьмин Ю.Н. Решить систему уравнений
`6x+6y+6z=2xy+2yz+2zx+14=3xyz+18`
► 3. Лексина С.В. Докажите, что квадрат можно разрезать на 60 равных треугольников, из которых можно сложить 10 квадратов.
► 4. Гусев А.А. Пусть `a` действительная постоянная. Найдите все решения уравнения. При каких значениях параметра `a` уравнение четвертой степени `a^3x^4+2a^2x^2+x+a+1=0` имеет нечетное число действительных решений.
► 5. Лексина С.В. В единичном кубе `ABCDA_1B_1C_1D_1`, стоящем на грани `ABCD`, даны две точки `М` на ребре `AB`, `M_1` на ребре `A_1B_1`, такие, что `AM:MB=3:2`, a `A_1M_1:M_1B_1=2:3`. Муравей прополз по кратчайшем пути с постоянной скоростью из точки `M` в точку `M_1` так, что побывал во всех доступных гранях. Найти отношение скоростей муравья на горизонтальном участке и не на горизонтальных, если известно, что время, проведенное им на горизонтальных участках равно времени проведенному им на не горизонтальных участках.
► 6. Козлова Е. Найти функции `f(x)`,`g(x)`, `h(x)`, удовлетворяющие уравнению
`f(x+y)=g(x)+h(y)+xy(x+y+2011)`
и дифференцируемые в точке ноль.
► 7. Андреева Л. В. Брус размером 8 х 27 х 27 распилить на 4 части, из которых можно сложить куб.
► 8. Андреев А.А. Докажите, что число 9000001999 является составным.
► 9. Дворянинов С.В. Дан прямоугольник со сторонами 28 см и 12 см. Существует ли треугольная пирамида, у которой все грани равные треугольники и длина каждого ребра выражается целым числом сантиметров и развертка которой совпадает с этим прямоугольником? Если да, то нарисуйте эту развертку и укажите длины всех ребер пирамиды.
► 10. Андреев А.А. Пусть `[x]` - целая часть числа `x` - наибольшее целое число, не превосходящее `x`. Найдите наименьшее натуральное `m`, при котором найдется натуральное `n`, такое, что будет выполняться равенство
`[sqrt(m)]+[sqrt(m+1)]+...+[sqrt(n)]=2011`

UPD решения задач sammat.ru/files/sammat2011.pdf

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[Alisa_Selezneva]

№ 8. Докажите, что число 9000001999 является составным.

Решение:

`9000001999=9000002000-1=9000000000+2000-1=9*10^9+2*10^3-1=[` Замена: ` x=10^3]=9x^3+2x-1=(3x-1)(3x^2+x+1)=`
`=(3*10^3-1)(3*10^6+10^3+1)=2999*3001001 => 9000001999` - составное число.

[Гость]

№1 25000<510x+990y<25040; 2500<51x+99y<2504; 51x+99y=2502; 17x+33y=834; y=16 (сегодня); x=18 (вчера)

[Гость]

№2 Пусть x+y=t; xy=q; Имеем 6t+6z=2q+2zt+14; откуда q=3t+3z-zt-7. Т.к. 6t+6z=3qz+18, то 6t+6z=9tz+9z^2-3tz^2-21z+18; (t-3)(z^2-3z+2)=0; t=3 или z=1 или z=2. При z=1 q=2t-4; xy=2(x+y)-4; (x-2)(y-2)=0. Решения (2;y;1) и (x;2;1). При z=2 q=t-1; xy=x+y-1; (x-1)(y-1)=0. Решения (1;y;2) и (x;1;2). В силу симметрии системы остальные решения (1;2;z) b (2;1;z).

[Ak-sakal]

№3 Исходный квадрат вписан в квадрат со стороной 4b. Остальное по рис.

[Robot]

На одном из не слишком дружественных сайтов про 7 задачу намекнули, что есть аналог в книге Кордемского Математическая смекалка.
А именно:
Деревянный брусок (прямоугольный параллелепипед) с ребрами длиной в 8 см, 8 см и 27 см требуется распилить лобзиком на 4 части, из которых можно было бы составить куб.
Решение Кордемского:

По мотивам этого решения, в олимпиадной задаче будет , по-видимому, так (над рисунком особо не старалась):

[Robot]

4. Немного изменяю формулировку
Пусть `a` действительная постоянная. При каких значениях параметра `a` уравнение четвертой степени `a^3x^4+2a^2x^2+x+a+1=0` имеет нечетное число действительных решений.

Если `a=0`, то `x=-1` и имеем одно решение (то есть количество решений нечетно)
Пусть `a!=0`, тогда имеем многочлен четвертой степени, имеющий от 0 до 4 действительных корней.
Можно показать, что `a^3x^4+2a^2x^2+a+x+1=(ax^2+x+1)(a^2x^2-ax+a+1)` (*)
Количество действительных решений будет нечетно, если ровно один корень будет иметь кратность 2
Известно, что еcли с - корень кратности 2 многочлена `f(x)`, то `f(c)=f'(c)=0`, но `f''(c)!=0`
`f'(x)=4a^3x^3+4a^2x+1`; `f''(x)=12a^3x^2+4a^2`
Пусть с - корень кратности 2 (легко убедиться, что `c!=0`)
Тогда должно выполняться
`{((ac^2+c+1)(a^2c^2-ac+a+1)=0),(4a^3c^3+4a^2c+1=0):}`
Возможны два случая
1 случай. `{(ac^2+c+1=0),(4a^3c^3+4a^2c+1=0):}`
Вычитая из второго уравнения первое, умноженное на `4a^2c` , получаем `c=+-1/(2a)`
Исследуя `c=1/(2a)`, получаем `a=-3/4` Однако при этом значении `a` уравнение (*) имеет корень `x=-2/3` кратности 3 и простой корень `x=2`, то есть число действительных корней уравнения (*) четно.
Исследуя `c=-1/(2a)`, получаем `a=1/4`. Подставляя в уравнение (*), получаем единственный корень `x=-2`. Таким образом, в данном случае мы имеем нечетное число действительных корней.
2 случай`{(a^2c^2-ac+a+1=0),(4a^3c^3+4a^2c+1=0):}`
Проводя аналогичные преобразования, мы получаем, что решением системы может быть только `c=1/(2a)`, что опять же приводит нас к ранее исследованному `a=-3/4`
Ответ: `a=0`; `a=1/4`
(Если требовалось найти и все решения уравнения (*) в зависимости от а , то следовало исследовать вышеупомянутые квадратные трехчлены. Задача муторная, но стандартная)

[VEk]

Гость В Вашем решении 1-й задачи переплата суммарная. А не может ли быть так, что переплата была каждый день в указанных размерах?

[Ak-sakal]

В моём классе ушлые дети набирали в запросе часть условия задачи. Чтобы ответить на Ваш вопрос делаю то же. «Всего на раков он истратил 25200 крон, из них переплаты из-за отсутствия сдачи составили от 160 до 200 крон.» Получаем ссылки:
www.websib.ru/competition/arhiv/sch10/1996.htm Видимо, первоисточник мехмат НГУ 1996
lib.nspu.ru › › ai/mfile/elibrary/838/….pdf… Жафяров стр 30
edu.1september.ru/courses/11/002/#materials Шевкин Лекции 5-8 стр 50
Не спорю, условие весьма коряво.

[VEk]

Ak-sakal Спасибо! У Жафярова нарывался на опечатки. В той же книге на 18 стр. решите уравнение `y^3-58x=2009+xy^2-58y`, если y- простое число, а `x in Z`. Маленькая опечаточка: должно быть 2010, а не 2009. А в книге по С1 в примере 148 вообще бред. Все три его книги, издававшиеся в последнее время есть на полках сообщества.

[Ak-sakal]

№10 Мои чада решали перебором. Насчёт наименьшего m у них плоховато, но 100% частное решение нашли. Числа от `[sqrt(t^2)]` до `[sqrt((t+1)^2-1)]` равны. Для каждого t найдётся 2t+1 чисел, целая часть которых равна `[sqrt(t^2)]` Рассмотрим сумму `S=[sqrt(1)]+...= 1*3+2*5+3*7+4*9+5*11+6*13+7*15+8*17+9*19+10*21+11*23+12*25+13*27+14*29=2135.` Если отнять от неё начало `1*3+2*5+3*7+4*9+5*11`, то получится 2010. Не хватает 1. Его можно добавить, убрав из S последнее число с целой частью, равной 14, и добавив три числа с целой частью, равной 5. В итоге `2011=[sqrt(33)]+...+[sqrt(223)]`. m=33, n=223.

[Ak-sakal]

№3 Исходный квадрат вписан в квадрат со стороной 4b. Остальное по рис. Здесь рисунок крупнее. Исходный квадрат разрезан на 4 маленьких квадрата и 4 треугольника. Из них можно сложить полоску (Ой, в полоске куда-то подевался 4-й квадратик, ну да всё равно понятно). Как разрезать каждый треугольник и мааленький квадрат ясно из рис. справа вверху.

[Ak-sakal]

№6 При `y=0, f(x)=g(x)+h(0), g(x)=f(x)+r`, при `x=0, f(y)=g(0)+h(y), h(x)=f(x)+s`, при `y=x, f(2x)=f(x)+r+f(x)+s+x^2*(2x+2011)`
Откуда `16f^(4pr)(2x)=2f^(4pr)(x), f^(4pr)(0)=0`. Следовательно можно взять, `f(x)=c/6*x^3+p/2*x^2+qx+t` Учитывая, что две другие функции отличаются от `f(x)` на константу, подставим `x+y` в полученную для `f(x)` формулу. Из уравнения, данного в условии, получим `c=2, p=2011` . Отсюда
`f(x)=1/3*x^3+2011/2*x^2+qx+t` Уравнения `g(x), h(x)` аналогичны. У всех трёх коэффициент при `x` равен `q`. Сумма свободных членов в уравнениях `g(x), h(x)` должна быть равна `t`. `q` - произвольное действительное число.
!!!Пришлось обозначить 4-ю производную как `f(x)^(4pr)`