Доказать, что множество функций образует линейное пространство

[goga_50]

Доказать, что множество M функций x(t), заданных на области D, образует линейное пространство. Найти его базис и размерность.
`M = {ae^(3t) + be^(-3t) + cte^(3t) + dte^(-3t)}`, `t in (-oo, +oo)`
a, b, c, d - любые вещественные числа


Для примера буду ссылаться на википедию ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%...

Вопросы:
1. Нужно проверить, будет ли сумма функций вида `ae^(3t) + be^(-3t) + cte^(3t) + dte^(-3t)` и произведение функций того же вида на скаляр принадлежать множеству `M = {ae^(3t) + be^(-3t) + cte^(3t) + dte^(-3t)}` ?

2. Чтобы проверить сумму, нужно `ae^(3x) + be^(-3x) + cte^(3x) + dte^(-3x)` + `ae^(3y) + be^(-3y) + cte^(3y) + dte^(-3y)`
или `a_1e^(3x) + b_1e^(-3x) + c_1te^(3x) + d_1te^(-3x)` + `a_2e^(3y) + b_2e^(-3y) + c_2te^(3y) + d_2te^(-3y)` ? Или может `a_1e^(3x) + b_1e^(-3x) + c_1te^(3x) + d_1te^(-3x)` + `a_2e^(3x) + b_2e^(-3x) + c_2te^(3x) + d_2te^(-3x)` ? Я больше склоняюсь к 3-ему варианту.

3. Нужно ли проверять оставшиеся 8 условий(коммутативность сложения, ассоциативность сложения, существование нейтрального элемента относительно сложения и т. д.) ?

@темы: Линейная алгебра, Высшая алгебра

Comments

[Гость]

Что такое a,b,c,d в определении M?

[goga_50]

a, b, c, d - любые вещественные числа, дополнил первое сбщ

[Гость]

п. 2 - третий вариант
п. 3 - проверять нужно все

[Гость]

goga_50

Проставьте @Тему

[goga_50]

спасибо, буду доказывать

[goga_50]

за нулевой и единичный векторы взять соответственно `0` и `1` ?

[Гость]

за нулевой и единичный векторы взять соответственно и ?

нулевой - вектор, единичный - скаляр.

[mpl]

goga_50

Почему поднят топик?

[goga_50]

mpl, в связи с вопросом "за нулевой и единичный векторы взять соответственно 0 и 1 ?"

Гость, понял ваше уточнение, за нулевой вектор взять `bar 0` (а не `0e^(3t) + 0e^(-3t) + 0te^(3t) + 0dte^(-3t)`)?

[mpl]

goga_50

Пока топик на первой странице его поднимать не нужно

Нулевой вектор и выражение с нулевыми коэфф. это же одно и то же.

Единица из D, нулевой вектор из M.

[goga_50]

спасибо

[goga_50]

Подсчитал определитель Вронского для векторов `e^(3t)`, `e^(-3t)`, `te^(3t)`, `te^(-3t)`, он равен `-1296`, следовательно они линейно независимы, а поскольку через них мы выражаем любой вектор множ-ва `M`, то их сис-ма полная, следовательно `e^(3t)`, `e^(-3t)`, `te^(3t)`, `te^(-3t)` образуют базис множ-ва `M`.

[_ТошА_]

хорошо.