Комплексные числа, доказательство

[rustam-kot]

Доброй ночи. Помогите пожалуйста с пониманием задачи:
Доказать, что если `z_1 + z_2 + ... + z_n = 0`, то любая прямая, проходящая через начало координат, разделяет точки `z_1, z_2, ..., zn in C`, если только эти точки не лежат на этой прямой.

Я не понимаю значение слова "разделяет". Для меня это равносильно, что для любой прямой либо точки все находятся на прямой, либо не находятся на прямой. Казалось бы, такая интерпретация неверна(пример, `z_1 = -1`, `z_2 = -1 - i`, `z_3 = 2 + i` и прямая, проходящая через `z_3`).
Проясните пожалуйста! Спасибо большое.

@темы: Комплексные числа

Comments

[Гость]

Прямая разделяет плоскость на полуплоскости. Точки принадлежат либо одной полуплоскости, либо разным полуплоскостям.

[rustam-kot]

А. понял. Тогда проверьте пожалуйста решение:
`z_i = x_i + i*y_i` =>
`sum_(i=1)^n z_i =0` => `sum_(i=1)^n x_i = 0` и `sum_(i=1)^n y = 0`. следовательно, для любого `z_i` можно подобрать такое подмножество `z_k_j`, что сумма x-координат или y-координат `z_k_j` и `z_i` равна нулю.
Если `z_k_j` состоит из одного элемента, то оно равно `-z_i`.(то есть лежит на одной прямой). Если `z_k_j` состоит из нескольких элементов, то они будут лежать в другой полуплоскости, потому что x-координаты(ну или y-) `z_k_j` будут лежать в другой полуплоскости.

[Alidoro]

По-моему, термин "разделяет" здесь не корректен и требует от автора задачи дополнительных разъяснений. Обычно говорят, что прямая разделяет два множества либо точку и множество. Как прямая может разделять множество точек — лично мне не понятно.

[rustam-kot]

Это полная формулировка задачи.
Боюсь, с автором, выпустившим книгу 1975 года, я не смогу связаться и разузнать подробности

[Гость]

rustam-kot

Боюсь, с автором, выпустившим книгу 1975 года, я не смогу связаться

Но зато можете привести ссылку на первоисточник условия. У многих есть книги дома.

[rustam-kot]

Волковыский,Лунц, Араманович - сборник задач по тфкп. задача 1.21

[Гость]

Как прямая может разделять множество точек

На рисунке отрезки разделяют множество точек, принадлежащих треугольнику, на 7 подмножеств.

[Alidoro]

Волковыский,Лунц, Араманович - сборник задач по тфкп. задача 1.21

Последующая задача в сборнике использует тот же термин, xотя выше этот термин не объясняется. Тогда, может быть, принять такое определение: "Прямая разделяет точки, если есть точки, лежащие как по одну сторону этой прямой, так и по другую" ?

[VEk]

Alidoro Скорее всего так и есть. У меня этого задачника нет.