Мордкович, профильный уровень, 10-й класс

[remonortsa]

Не подскажет ли кто-нибудь направление решения?

Докажите неравенство:

`1 < sin (1 )+ cos^2(1) < 1,25`

Пока на ум пришло только одно "решение" - принять 1~Pi/3 и, подставив нужные значения sin(Pi/3) и cos(Pi/3) показать, что неравенство верно.

(Другой путь решения - через оценкаи sin(1) и cos(1) что-то не особо получается.)

Спасибо.

@темы: Тригонометрия

Comments

Правильно мыслите. Угол в один радиан находится в первой четверти, где косинус и синус возрастают. 1 радиан находится между углами `pi/4` и `pi/3`.
А теперь найдите значение выражения при каждом из углов и оцените снизу (для `pi/4`) и сверху (для `pi/3`) получившиеся значения.

[remonortsa]

Спасибо огромное за участие. Если честно, я такой способ уже пробовал. Там очень большая оченка сверху получается. Она больше, чем 1,25.
Сейчас более подробно опишу свое решение.

[Heor]

_nobody
Косинус в первой четверти убывает. От 1 до нуля.

remonortsa
Воспользуйтесь основным тригонометрическим тождеством и свойствами параболы.

[очищено]

[remonortsa]

1/2 < cos 1 < sqrt(2)/2 sqrt(2) / 2 < sin 1 < sqrt(3)/2
1/4 < cos^2 < 1/2

Получаем:
sqrt(2) / 2 + 1/2 < sin 1 + cos^2(1) < sqrt(3)/2 + 1/2

sqrt(3)/2 + 1/2 > 1.25

И все! Дальше идей нет.

[remonortsa]

А!.. Стоп!.. Подождите...

[Heor]

remonortsa
Я Вам дал идею выше.

И, если хотите, дам еще одну.
`sin (1)+ cos^2(1) = (1/2)*(1 + 2*sin(1) + cos(2))`

[Heor]

_nobody
Вы 1/2 не с тем сравниваете. Вам надо сравнить `1/2` и `sin(1)`

Heor,
там просто не все отправилось сообщение, исправлено да ё, опять обрезалось
Вот
т.е. положительность в первой четверти данных функций не может помощь?
Ну ладно, тогда рассмотрим функцию `f(x)=sinx+cos^2x=-sin^2x+sinx+1`, `[t=sinx]`, `g(t)=-t^2+t+1` Вершина параболы в `1/2`, причем `1/2`<1 g(t) убывает на ` [1/2,+infty)` => `f(x) `убывает ` [pi/4,pi/3]`. Оценка (неравенства доказываются несложно) `1`<`f(pi/4)`<`f(1)`<`f(pi/3)`<`1.25`

[Heor]

_nobody
Замечание осталось. Все равно не то сравниваете. У Вас `t = sin(x)`, вот с `sin(x)` и надо сравнивать.

Heor,
f(x) — функция от синуса, g(t) — функция-полином. От полинома перешел к синусу, где и делал оценку...

[remonortsa]

_nobody, Heor, спасибо за помощь в решении.

Насчет _первой_ идеи Heor'а. Может, я как-то не так пробовал:
1 < sin 1 + cos^2(1) < 1.25

Докажем одно неравенство:
1 < sin 1 + cos^2(1)
1-cos^2 < sin 1
sin^2(1) < sin 1

Строго говоря, (a/b)^2 < (a/b) для любого a < b, принадлежащего N () (из-за того, что квадрат большего числа "возрастает" быстрее "меньшего")
Т.е. это верно для любого рационального числа a/b.

Но sin(1), по-моему, не является рациональным числом. Тогда чтобы воспользоваться неравеством нужно будет вводить две оценки sin(1) сверху и снизу рациональными числами. Но это что-то слишком круто для школьного учебника?

Или я излишне все усложнил?

[remonortsa]

Nobody, решение с f(x)=sinx+cos^2x=-sin^2x+sinx+1 выглядит очень красиво. Мне б и в голову это никогда не пришло.

Надеюсь разберусь завтра.

[Heor]

remonortsa
Это излишне и немного не в ту сторону.
Т.к. `1>pi/4`, то `cos^2(1) < sin^2(1) < sin(1)`. Это верно. Вот только думая в эту сторону, Вы максимум получите верхнюю оценку.
Я Вам не просто так говорил про свойства параболы. Тем более, что _nobody уже написал большую часть решения.
Он уже показал, что максимум функция достигает при `t = 1/2`. Вам осталось найти этот максимум и показать, что `sin(1) > 1/2` и отметить тот факт, что `sin(x)` в первой четверти является возрастающей функцией. Что не сложно.

Нижнюю границу можно оценить тупо при максимальном значении `t = 1 > 1/2`. И сослаться на то же возрастание синуса.

[Alisa_Selezneva]

А если так: число `A` больше числа `B`, если `A-B>0`.
Докажем неравенство `sin1+cos^2(1)>1`. Составим разность `sin1+cos^2(1)-1= ... >0`.
Докажем неравенство `5/4>sin1+cos^2(1)`. Составим разность `5/4-sin1-cos^2(1)=...>0`.

[Гость]

Проверьте решение

`1 lt sin (1 )+ 1 - sin^2(1) lt 1,25`; `0 lt sin (1 ) - sin^2(1) lt 0,25`

`1> sin(1) > 0 -> 0 lt sin (1)(1 - sin(1))`

`sin(1) - sin^2(1) lt 0,25`; `4sin(1) - 4sin^2(1) lt 1`; `0 lt 1-4sin(1)+4sin^2(1)`; `0 lt (1-2sin(1))^2`

[Heor]

Гость
Верно.