Опять С5

[Новый гость]

Условие:
"При каких значениях параметра `a` система
`{(x+y^2+a=0),(x^2-y+a=0):}`
имеет единственное решение?"
Решал так:
Если `(x_0;y_0)` - решение системы, то `(-y_0;-x_0)` - тоже решение (легко доказать подстановкой).
Но чтобы было единственное решение, нужно, чтобы `x_0=-y_0`, `y_0=-x_0` (необходимые условия).
Преобразуем: исключим из исходной системы параметр:
`{(x+y^2+a=0),(-x^2+y-a=0):}`,
`x-x^2+y^2+y=0`,
`-(x^2-x+0,25)+(y^2+y+0,25)=0`,
`(y+0,5)^2-(x-0,5)^2=0`,
`(y-x+1)(y+x)=0`,
`y_1=x-1` или `y_2=-x`.
`y_1=y_2`,
`x-1=-x`,
`x=1/2` `=>` `y=-1/2` (выполняются необходимые условия).
Подставляем в исходную систему, получаем, что `a=-3/4`.
Однако в действительности это не так. Где у меня ошибка?
И ведь не могу подставить это значение в систему, чтобы решить её при этом `a` и проверить достаточность, потому что не знаю, как это сделать, когда я её уже решил без параметра.
Помогите, пожалуйста.

@темы: Задачи с параметром, ЕГЭ

Comments

[Heor]

Новый гость
В неправильном выводе.

Из приведенного Вами в начале утверждения следует, что для любого решения системы всегда выполняется соотношение `(x + y) = 0`

Так что вот этим:
`(y-x+1)(y+x)=0`,
`y_1=x-1` или `y_2=-x`.

Вы фактически доказали свое утверждение, но никак не приблизились к `a`...

[Новый гость]

И что же делать?

[Heor]

Продолжать свое рассуждение.
Вы доказали, что единственное решение системы будет иметь вид `(x, -x)`. Осталось подставить и посмотреть при каком a это самое x будет единственным.

[Новый гость]

Вы доказали, что единственное решение системы будет иметь вид (x,-x).

Я такого не писал.

[Новый гость]

После какого момента у меня решение идёт неправильно?

[Гость]

`[({(x+y^2+a=0),(x^2-y+a=0),(y=x-1):}),({(x+y^2+a=0),(x^2-y+a=0),(y=-x):}):}`

`[({(x+(x-1)^2+a=0),(x^2-(x-1)+a=0),(y=x-1):}),({(x+(-x)^2+a=0),(x^2-(-x)+a=0),(y=-x):}):}`

`[({(x^2-x+1+a=0),(y=x-1):}),({(x^2+x+a=0),(y=-x):}):}`

[Новый гость]

Чтобы выполнялось условие задачи одна система в совокупности должна иметь одно решение, а другая ни одного.
1 случай: первая система имеет единственное решение, вторая не имеет решений.
Дискриминант первого уравнения первой системы равен 0:
`D_1=1-4(1+a)=-a-3=0` `=>` `a=-3`.
`D_2=1+12=13` `=>` вторая система имеет два решения. Всего получается более одного решения, и `a=-3` не подходит.
2 случай.
`D_2=1-4a=0` `=>` `a=1/4`
`D_1=1-4*5/4=1-5=-4<0` `=>` исх. система имеет единственное решение, и `a=0,25` подходит.

А есть ли ещё случаи? И почему сейчас ниоткуда не появилось значение `a=-3/4`?

[Гость]

В первом случае неверно раскрыли скобки

[Новый гость]

Гость Точно! Тогда там `a=-3/4`. `D_2=1+3=4` `=>` вторая система имеет два решения. Всего получается более одного решения, и `a=-3/4` не подходит.
Всё, теперь, кажется, разобрался.

Всем спасибо за помощь.

[Новый гость]

Чтобы выполнялось условие задачи одна система в совокупности должна иметь одно решение, а другая ни одного.

А если обе системы имеют одно и то же решение?

[Гость]

что обозначает нижний пробел?