Помогите найти период функции

[IonIvan]

Задание из демонстрационного варианта 11 класса олимпиады "Будущие исследователи - будущее науки".
4. Найдите наименьший период функции y = sin^100 (x) + cos^100 (x).
Я так понимаю, что надо найти периоды каждого слагаемого по отдельности, а потоим найти их НОК.
Другая моя мысль заключается в том, что можно использовать основное тригонометрическое тождество,
но как его сюда пристроить я еще не придумал.
Олимпиада уже в воскресенье.
Посоветуйте что-нибудь пожайлуста!

@темы: Олимпиадные задачи, Исследование функций

Comments

[Heor]

Олимпиада уже в воскресенье.

Т.е. это задание будет на олимпиаде или уже было?

[Alidoro]

Вообще странная идея. У обоих слагаемых период один и тот же. НОК даст то же самое число.
Здесь можно прикинуть, как выглядит график функции и попробовать угадать период. А уж потом доказывать. А уж при попытке доказать вы сразу увидите, что нужно применять формулы приведения.

[IonIvan]

Олимпиада уже в воскресенье.
Т.е. это задание будет на олимпиаде или уже было?

Это демо-вариант воскресной олимпиады. Там будут похожие задания, наверное. Вот

[Robot]

Может быть, действовать по определению
Пусть Т- период
Тогда для любого х `sin^(100)(x+T)+cos^(100)(x+T)=sin^(100)(x)+cos^(100)(x)`
в том числе это должно выполняться и для х=0
Тогда имеем
`sin^(100)(T)+cos^(100)(T)=1`
А далее прием , обычный для решения такого типа уравнений
Используем
`sin^(100)(T)<=sin^2(T)`
`cos^(100)(T)<=cos^2(T)`, причем знак равенства тогда и только тогда, когда ..
и т.д.
--------
Потом, конечно, нужно будет доказывать

[IonIvan]

А можно поподробнее о таком типе уравнений?
Понятно, что sin^(100)(T)<=sin^2(T) т.к. |sin(T)|<1.
Но зачем нам это?

[VEk]

Получается такое неравенство `1=sin^2x+cos^2x>=sin^(100)x+cos^(100)x=1`. Из него получаем систему `{(sin^2x=sin^(100)x),(cos^2x=cos^(100)x):}` или `{(sin^2x(1-sin^(98)x)=0),(cos^2x(1-cos^(98)x)=0):}`

[Гость]

Добрий день хто знает какое число вийдет 210 в 20 периоде?

[Гость]

Robot, аромгите очень срочно нужно!!!!! cos11cos21+cos69cos79-10

[VEk]

Гость, 11+79=21+69=90. Воспользуйтесь приведенным равенством.