Где-то есть ошибка...

[*Kesha*]

Доброе время суток!
Проверьте пожалуйста решение,здесь где-то есть ошибка,это я точно знаю..
Задание:
`root(x)(5^{5sqrt5})`=`5^{sqrtx-4}`
Мой ход решения:
`5^{5sqrtx*(1)/(x)}`=`5^{sqrtx-4}`
`(5sqrtx)/(x)=sqrtx-4`
`xsqrtx-4x=5sqrtx` ,затем обе части разделила на`sqrtx`
Получилось:
`x-4sqrtx=5`
`x-5=4sqrtx`
`x^2-10x+25=16x`
`x^2-26x+25=0`
`D=24^2`
`x_1=25`
`x_2=1`
Решением должно являться только 25..

@темы: Рациональные уравнения (неравенства)

Comments

[к.черный]

вообще-то корня 1-ой степени не бывает

[*Kesha*]

к.черный ,рахмет=)

[к.черный]

затем обе части разделила на

а можно?

Вы в курсе, что корни иррационального уравнения `x-5=4sqrtx` нужно проверять?

[*Kesha*]

к.черный ,нет не в курсе....

[Диана Шипилова]

вообще-то корня 1-ой степени не бывает

Почему?
Единицу отбрасываем по другой причине. Это лишний корень, который появляется при неравносильном возведении в квадрат.

[к.черный]

я вижу.
Представьте, что вам нужно решить уравнение изначально `x-5=4sqrtx`
Кстати, типичное В3. Там еще такая формулировочка может быть : если уравнение имеет более одного корня, то в ответе запишите меньший из корней.
И что вы в этом случае запишите?

[к.черный]

Диана, я сначала на решение вообще не посмотрела

вообще-то корня 1-ой степени не бывает

А почему не бывает? По определению же (плюс еще они разные бывают, не везде об ограничениях на`n` говорится, поэтому взял некоторое определение для комплексных чисел...)
"Арифметическим корнем n-ой степени (`n in NN`) числа `a` называется такое число `b`, что `b^n=a`."
Может, где-то об этом подробно говорится конкретно для действительных чисел?

Н-да, долго писал.

нет не в курсе....

Какие ограничения накладываются на правую часть равенства `x-5=4sqrt x`? Что из этого ограничения следует для левой части?

[к.черный]

в школьном учебнике корень натуральной степени определяется для n>=2

www.pm298.ru/reshenie/algebr4.php

[*Kesha*]

_nobody `x> 0` или равен нулю

kesha481987
А почему строго больше нуля? там же нестрого или Вы сразу смешали с первоначальным равенство?
Т.е. у нас правая часть положительна (или неотрицательна) у иррационального уравнения, так

Что из этого ограничения следует для левой части?

[*Kesha*]

_nobody ,я имела ввиду нестрогое неравенство.

Если дано уравнение вида `f(x)=sqrt(g(x))`, то какое ограничение накладывается на левую часть? На правую уже выяснили — неотрицательна, а что же в этом случае будет с левой?

[*Kesha*]

`x>0`

[Гость]

На правую уже выяснили — неотрицательна, а что же в этом случае будет с левой?

Левая часть равенства равна правой и правая неотрицательна.

[*Kesha*]

Гость ,я уже ответила на этот вопрос.

[Гость]

kesha481987

Ответ x>0?

[*Kesha*]

Гость ,да,вышло 25

kesha481987,
так как правая часть неотрицательна, а она равна левой, то левая не может быть отрицательной, в поле действительных чисел мы же не может получить отрицательное число после извлечения корня с четным показателем, т.е. равносильны следующие равенство и система:
`f(x)=sqrt(g(x)) <=> {(g(x)>=0),(f(x)>=0),(f^2(x)=g(x)):}`
В нашем случае выходит неравенство: `(x-5)/4>=0 <=> x>=5`. Вот. Даже не используя определение корня (кроме того, что показатель корня --- целое число), единица отсеивается.

P.S. Как видно, умножение на положительную константу правой части уравнения не влияет на второе неравенство системы.

[Robot]

При этом система даже избыточна, так как `g(x) >= 0` можно опустить - это условие следует из уравнения `g(x)=f^2(x)`