С5. Поехали...

[logarithm]

`{ (|a|^(x-y)=log_(2)x-6),(x-log_(2)x=y-6) :}`

Найти все значения параматра `a`, при которых система имеет ровно два решения.

Соответственно `x>0`, рассматриваем две функции `y=|a|^(x-y)` и `y=log_(2)x-6` ищем точки пересечения, анализируем значения `a`.
Ближе к делу

график

графиком первой функции является экспонента - убывающая или возрастающая - в зависимости от `a`.
ищем точки пересечения, в случае когда `0<|a|<1` где-то там далеко будет всего лишь одна точка пересечения - сответственно одна пара `(x;y)`.
О каких двух решениях системы вообще может идти речь?
или я допустил ошибку?

@темы: ЕГЭ

Comments

[VEk]

Обозначим `t=x-y`. Тогда система сводится к виду `{(|a|^t=t),(t=log_2 x-6):}`. При `|a|<1` действительно только одно решение. А если `|a| > 1`? Почему Вы считаете, что уравнение `|a|^t=t` не может иметь двух решений при `|a| > 1`?

[Heor]

Соответственно `x>0`, рассматриваем две функции `y=|a|^(x-y)` и `y=log_(2)x-6` ищем точки пересечения, анализируем значения `a`.
А почему Вы рассматриваете эти две функции, а если решением этого уравнения окажется такая пара `(x,y)`, что `y!=|a|^(x-y)` или Вы считаете такое не возможным? Подобное утверждение голословно, его надо доказывать.

[logarithm]

ну как же при `|a|>1` обе функции возрастаю, при этом одна гораздо быстрее второй, точек пересечения вовсе не будет

[VEk]

logarithm Подставьте, например, a=1.1 и постройте.

[logarithm]

VEk эм, странно
но точка пересечения тем не менее одна

[Rus-Kira]

плохо, что у вас она одна...

[logarithm]

`y=|a|^(log_(2)x-6)`
`y=log_(2)x-6`
графики вот этих функций я строил

[VEk]

График соответсвует первому уравнению системы: `|a|^t=t`, построен для `a=1.3`.

[logarithm]

VEk но `t=log_(2)x-6`

[logarithm]

графики тех функций, о которых я сказал выше при `a=1,1`

[VEk]

logarithm Из первого графика Вы находите два положительных значения `t`, а затем по второму графику находите два значения `x` и соответственно два значения `y`. Естественно, точки надо определять аналитически. Графики -только иллюстрация.

[logarithm]

VEk можно пример? каким образом вы связываете значения `t` и `x , y`

[VEk]

Очень просто. Из первого уравнения находим 2 значения t, например, получилось 1,5 и 8 (цифирь взята с потолка). Для каждого полученного значения t решается уравнение `t=log_2x-6`, получаем (опять же для примера) `x=2^(7.5)` и `x=2^14`. Теперь вспоминаем, что `t=x-y` и находим `y`: для примера, `y=2^(7.5)-13.5` и `y=2^14-8`.
Но в задаче не требуется выписать конкретные значения `x` и `y`,а требуется только указать, при каких значениях параметра a будут 2 решения.

[logarithm]

VEk мне аналтически необходимо решить ур-ие `|a|^t=t` ?

[VEk]

logarithm Вам надо аналитически найти те a, при которых это уравнение будет иметь 2 решения.

[logarithm]

VEk ну я понимаю что `1<|a|<???`. но как найти правую границу, я не представляю. это возможно? там будет что-то около `1.45` .

как искать? составлять кравнения касательной?

[VEk]

Граница в данном случае определяется касанием кривой `y=|a|^t` и прямой `y=t`. Запишите соотношения для касания и все получится.

[logarithm]

VEk `y=f(a)+f'(a)(x-a)` где `a` - абсцисса точки касания. этим воспользоваться?

[VEk]

Условие касания выглядят так: `{(f(x)=g(x)),(f'(x)=g'(x)):}`И вот эту систему надо решить относительно x.

[Heor]

logarithm
В точке касания производная функции `y = |a|^t` будет равна ... .

[logarithm]

VEk `a>0`
`{(a^t=t),(a^(t)*lna=1):}`

[VEk]

Вот из этой системы находите t, а потом и |a|.

[logarithm]

VEk извините меня за излишнюю наглость, Вы мне и так уже изрядно помогли, но хотелось бы довести задание до конца. Можно хотя бы маленькую наводку как решить данную систему.

[VEk]

Подставляете из первого уравнения `a^t` во второе и получаете `t`. После чего вычисляете `a^t` и затем находите `a`. Дальше почти очевидно. Ответ численно примерно совпадает с 1,45. Но во время экзамена такой ответ (числовое значение) получить нереально, а вот то, что получится в этой задаче вполне по силам продвинутому школьнику.

[Heor]

logarithm
1. Что одинакового в первом и во втором уравнении есть?
2. Можно ли это выразить, заменить и что из этого получится...

[logarithm]

`t=1/lna`

[logarithm]

теперь решать уравнение `a^(1/(lna))=1/lna` ?

[Heor]

logarithm
Зачем?

[logarithm]

Heor ну что бы найти значение `a`
или можно как-то проще?

[VEk]

Ну `a^(1/(lna))` можно слегка преобразовать.