Неравенство

[lucva]

помогите решить неравенство
`tgxsqrt(sinx-2cosx-1)=0`
с тангенсом все понятно.
`x=pin`
не могу преобразовать выражение под корнем. у меня получается так:
`sinx-2cosx-1=0`
`sin^2x-4sinxcosx+4cos^2x=1`
`-4sinxcosx=-3cos^2x`
`-2sin2x=-3cos^2x`
`sin2x=(3cos^2x)/2`
`sin2x=3/2*(1+cos2x)/2`
`4sin2x-3cosx2=3`
`4sin2x=3(1+cos2x)`
`1=(4sin2x)/(3(1+cos2x))`
`1=4/3*tgx`
`tgx=3/4`
`x=arctg(3/4)+pik`
но с ответом не сходится. где что не так?

@темы: ЕГЭ

Comments

[VEk]

1. Вопрос в том, каков ответ. Преобразования тригонометрических выражений могут давать различную запись одного и того же ответа.
2. При возведении в квадрат могли приобрести лишние корни (и приобрели).
3. Перед переходом к тангенсу стоило бы добавить условие `cos2x != -1` и проверить его отдельно.

[к.черный]

2. При возведении в квадрат могли приобрести лишние корни (и приобрели)

ага.
Проверьте подстановкой (для этого вычислите синус и косинус угла, тангенс которого равен 3/4)

[Robot]

Может тут уже сказали - серия `x=pi*n` не вся войдет в ответ.
Надо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательно

[lucva]

в ответе ответ `x=pi+arccos(1/sqrt(5)-arcsin(1/sqrt(5)+2pin` `x=pi+2pik`. если `tgx=3/4` то из всех синусов и косинусов подходят только `sinx=-3/5` `cosx=-4/5` но как найти О.Д.З.
если возможно, то как можно найти проще?

[VEk]

Эта разность: `arccos (a) - arcsin(a)=pi/2-2arcsina` преобразуется: `sin(pi/2-2arcsina)=cos(2arcsina)=1-2sin^2(arcsina)=1-2a^2`. Т.е. в наших условиях эта разность равна `arcsin(3/5)=arccos(4/5)=arctg(3/4)`

[lucva]

полученные данные тогда не подходят. А как решать тогда?

[VEk]

lucva Почему не подходят? У Вас получилось `x=arctg(3/4)+pik`, ответ: `x=pi+arctg(3/4)+2pin`. Значит если k=2n+1, то ответ в задачнике и Ваш совпадают. Просто после Вашего решения надо убрать посторонние корни.

[lucva]

я не могу понять как у вас вышло что `arccos(a)-arcsin(a)` равно `arctg(3/4)` и как можно убрать посторонние корни

[VEk]

lucva Вышло `arccos a - arcsina = arcsin ( 1-2a^2)`. Эту выкладку я Вам привел.
Посторонние корни убираются так: подставляется полученное значение в уравнение и проверяется, все ли хорошо. Если что-то не так, значит корень посторонний (при условии, что все правильно считали).