Промежуточный вопрос по олимпиаде

[FirstAID]

Московск математ олимп
1994 г 10 класс номер 2

Условие ( его не обязательно читать )
Бесконечная последовательность чисел `x_n`определяется условиями: `x_(n+1) =1-|1-2x_n |`, причем `0 <=x <=1`.
Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая а) в том б) и только в том случае, если `x_1` рационально.

Элемент решения
Пусть `x_n =p/q` , тогда` x_(n+1)=1-| (q-2p) |/q = (q-| (q-2p) |)/q ` Если эта дробь несократима, то ее знаменатель такой же, как и у xn, если она сократима, то после сокращения знаменатель уменьшится.

Итак, все члены последовательности — рациональные числа, заключенные между 0 и 1, т. е. правильные дроби. Но правильных дробей со знаменателями, не большими заданной величины q,—конечное число. Поэтому какие-то члены последовательности повторятся, и с этого момента последовательность будет периодической.

@темы: Олимпиадные задачи, ЕГЭ

Comments

[VEk]

правильных дробей со знаменателями, не большими заданной величины q,—конечное число.

А что такое "правильная дробь"?

[FirstAID]

Правильная дробь, дробь, знаменатель которой больше числителя .
Это понятно , но почему Поэтому какие-то
члены последовательности повторятся, и с этого момента
последовательность будет периодической.

[VEk]

Дробь `n/m`, называется правильной, если `0 < |n| < m`, `m in N`, `n in Z`. Значит, если знаменатель конечное число , то количество возможных значений числителя ограничено. Что Вас смущает?

[FirstAID]

Поэтому какие-то члены последовательности повторятся, и с этого момента последовательность будет периодической.

Почему какие-то члены последовательности будут повторятся ?

[Диана Шипилова]

А вы представьте обратное. Никогда члены последовательности не повторятся.

[FirstAID]

Я запутался .
Нам нужно доказать , что начиная с кагого то члена k полседовательность будет повторятся . Но q & p бесконечно много , только дробь должна быть правильной . Предположим , что члены не повторяются , тогда что ?

[VEk]

Откуда бесконечно много? После того, как знаменатель `q` зафиксирован, для числителя остается всего `q` возможностей: `0, 1, 2, ..., (q-1)`.

[FirstAID]

Может быть тут модуль и поэтому члены последовательности повторяются ?

[VEk]

Вам же доказали, что все члены последовательности лежат на [0;1], а модуль просто позволяет не выходить за указанные пределы.

[FirstAID]

и то что все члены лежат там , это означает , что там будут повторятся ?

[VEk]

Это означает, что числитель может принимать только конечное количество различных значений. Если бы значения не повторялись, то числитель принимал бы бесконечное количество значений, что невозможно.

[FirstAID]

Порешаю что-нибудь другое . Вообще догоняю,,,,,