Дифференциальные уравнения

[Siroga]

Здравствуйте ! Помогите пожалуйста решить:
Найти общее решение системы ДУ и её частное решение при заданных начальных условиях.
(система)
dx/dt=3x-y, x(0)=1;
dy/dt=10x-4y, y(0)=5.
Решение.Сведем систему к уравнению второг порядка относительно функции x(t).Чтобы исключить y(t), продифференцируем по t
первое уравнение системы:
d^2x/dt^2=3(dx/dt)-(dy/dt).
Отсюда имеем:
y=-(dy/dt)+3x, dy/dt=-(d^2x)/(dt^2)+3(dx/dt).
Подставим во второе уравнение:
-(d^2x/d^2t)+3(dx/dt)=10x-4((dx/dt)+3x)
Для x(t) уравнение:
(d^2x/d^2t)-7(dx/dt)-2x=0

@темы: Дифференциальные уравнения

Comments

[VEk]

Вы неверно получили дифф.ур. 2-го порядка для `x(t)`. Этот способ оговаривался в задании?

[Siroga]

Для x(t) уравнение:
(d^2x/d^2t)-(dx/dt)-2x=0
Нет, но он есть в примере к заданию.

[VEk]

Siroga Есть еще одна ошибочка. Перед `(dx)/(dt)` знак плюс.

[Siroga]

Для x(t) уравнение:
(d^2x/d^2t)+(dx/dt)-2x=0
Его характеристическое уравнение k^2+k-2=0 имеет кратные корни k_1,_2=1,-2. Следовательно, x(t)=(C_1+C_2t)e^(1-2)t

[VEk]

Siroga Общее решение Вы записали совершенно неверно.

[Siroga]

Если можно подскажите как правильно записывать

[VEk]

Siroga У вас есть 2 корня характеристического уравнения 1 и -2. Каждому такому корню соответствует решение вида `e^(kt)`, где k - корень. Но все это подробно написано в учебнике. Читайте.

[Siroga]

Для x(t) уравнение:
(d^2x/d^2t)+(dx/dt)-2x=0
Его характеристическое уравнение k^2+k-2=0 имеет кратные корни k_1,_2=1,-2. Следовательно, x(t)=((C_1e^t)+(C_2e^-2t))

[VEk]

Так можно, но перед C_2 обычно ставят знак плюс. Теперь ищите `y`.

[Siroga]

`y(t)=-(dx/dt)+3x=-2((C_1e^t)+(C_2e^-2t))-(C_2e^-2t)+3((C_1e^t)+(C_2e^-2t))=(-C_2e^-2t)+(C_1e^t)+(C_2e^-2t)`

[VEk]

Не понял , как появилось -2 после второго знака равенства.

[Siroga]

y(t)=-(dx/dt)+3x=((C_1e^t)+(C_2e^-2t))-(C_2e^-2t)+3((C_1e^t)+(C_2e^-2t))=(-C_2e^-2t)+4(C_1e^t)+4(C_2e^-2t)

[VEk]

Производная `(dx)/(dt)` взята неверно.

[Siroga]

y(t)=-(dx/dt)+3x=-2(C_2e^-2t)+3((C_1e^t)+(C_2e^-2t))=3(C_1e^t)+(C_2e^-2t)

[VEk]

Все равно не верно. Вы производные на 1 курсе проходили?

[Siroga]

Да.
(C_1e^t)+(C_2e^-2t)`=(C_1e^t)*0- (C_2e^-2t)*-2=2(C_2e^-2t) ?

[VEk]

Siroga Берите учебник по теме дифференцирование функции одной переменной и учите производные заново. Здесь Вам производные, в теме дифф.уравнения, никто брать не будет. Опять неверно.

[Siroga]

(C_1e^t)+(C_2e^-2t)`=(C_1e^t)*1+ (C_2e^-2t)*-2= (C_1e^t) -2(C_2e^-2t)

[VEk]

Вот теперь `(dx)/(dt)` взята верно. подставляйте и находите `(dy)/(dt)`а затем и уравнение.

[Siroga]

y(t)=-(dx/dt)+3x=(C_1e^t) +2(C_2e^-2t)+3((C_1e^t)+(C_2e^-2t))=4(C_1e^t)+5(C_2e^-2t)

[VEk]

После второго знака равенства перед скобкой другой знак.

[Siroga]

y(t)=-(dx/dt)+3x=(C_1e^t) +2(C_2e^-2t)+3((C_1e^t)+(C_2e^-2t))=4(C_1e^t)-5(C_2e^-2t)

Дальше:
x=1,y=5, получим (система) 4C_1=1
4C_1-5C_2=5 C_1=0,25, C_2=-0,2

[VEk]

Нет, Вы не сменили знак перед `C_1e^t`. Должно получиться `C_1=0, C_2=1`.

[Siroga]

y(t)=-(dx/dt)+3x=(C_1e^t) +2(C_2e^-2t)+3((C_1e^t)+(C_2e^-2t))=-4(C_1e^t)+5(C_2e^-2t)

Дальше:
x=1,y=5, получим (система) C_1+C_2=1
-4C_1+5C_2=5 C_1=0, C_2=1

[VEk]

Прочитайте мой комментарий от 03:42 и исправьте ошибку

[Siroga]

y(t)=-(dx/dt)+3x=(C_1e^t) +2(C_2e^-2t)+3((C_1e^t)+(C_2e^-2t))=4(-C_1e^t)+5(C_2e^-2t)

Дальше:
x=1,y=5, получим (система) C_1+C_2=1
-4C_1+5C_2=5 C_1=0, C_2=1

[VEk]

У Вас неверно получено выражение для y(t). НЕ могу понять сколько раз надо писать, что требуется исправить ошибку.

[Siroga]

y(t)=-(dx/dt)+3x=(-C_1e^t)- 2(C_2e^-2t)+3((C_1e^t)+(C_2e^-2t))=2(C_1e^t)+(C_2e^-2t)

[VEk]

Siroga Извините, но я так больше не могу. Вы убираете одну ошибку и тут же делаете другую. Ошибки на уровне преобразований в 8 классе. Так нельзя. Добивайтесь, чтобы получились правильные `C_1` и `С_2`. Их значения для Вас написаны.

[Siroga]

y(t)=-(dx/dt)+3x=-((C_1e^t)- 2(C_2e^-2t))+3((C_1e^t)+(C_2e^-2t))=2(C_1e^t)+5(C_2e^-2t)

Дальше:
x=1,y=5, получим (система) C_1+C_2=1
2C_1+5C_2=5 C_1=0, C_2=1