Уравнение в целых числах

[Bruks]

`TZ`
Решить в целых числах: `mn^2=10^5n+m`
[[/TZ]]

Понянто что `m vdots n` пусть `m=kn`
`kn^3=10^5n+kn`
`n(kn^2-10^5-k)=0`
сразу решение n=m=0
Дальше не знаю

@темы: ЕГЭ, Теория чисел

Comments

[Диана Шипилова]

Из второй скобки:
`k(n^2 - 1) = 10^5`, то есть `(n - 1)(n + 1)` раскладывается на простые множители только двойками и пятёрками.

[Bruks]

Да, до этого я тоже дошёл.
Также два числа (n-1;n+1) - одинаковой чётности и притом четные.

[Heor]

Bruks

раскладывается на простые множители только двойками и пятёрками.

!
Подумайте над этим.

[FirstAID]

n = 9
m = 18*5^4 ( при н =9 )
А так все корни- перебором находить ? Диана Шипилова

[Heor]

minasyanvaagn
Нет. Не перебором.
Числа (n-1) и (n+1) могут оканчиваться либо ...
Вот это либо возьмите из условия

раскладывается на простые множители только двойками и пятёрками.!

[FirstAID]

Heor оканчиваются на 2 4 6 8 0

[Heor]

minasyanvaagn
А 6 откуда?

[FirstAID]

Heor например 16

[Heor]

minasyanvaagn
Ага. Есть.

Разница между (n-1) и (n+1) составляет ровно 2.
А в наличии есть только пять двоек и пятерок. Вот и надо получается выбрать из всех возможных комбинаций такие, что бы разница между ними была 2.
`(2^p)*(5^q) + 2 = (2^r)*(5^s)`
`(2^(p-1))*(5^q) + 1 = (2^(r-1))*(5^s)`

Отсюда видно, что s и q не могут отличаться более, чем на 1. Аналогично с p и r. Соответственно, можно быстренько проверить. F можно еще и дальше порассуждать.

[Bruks]

Разобрался. Спасибо