Две С6: про шахматный турнир и уравнение без решений

[Новый гость]

Здравствуйте.
Помогите, пожалуйста, решить задачи.

1) Условие.
`TZ`В шахматном турнире участвовали учащиеся десятых и девятых классов. Десятиклассников было в 10 раз больше, чем девятиклассников и они набрали вместе в 4,5 раза больше очков, чем все девятиклассники. Сколько очков набрали девятиклассники, если каждый играл с каждым один раз?
`TZ`
Ответ:10.
По виду типичная "олимпиадная" задача, непонятно, на основе чего составлять уравнения, и нужно ли их составлять вообще. Каждый играл с каждым - неизвестно, кто у кого выиграл и т.д. И вообще условие некорректное: не сказано, сколько баллов участник получает за победу, за ничью...

2) Условие.
`TZ` Существуют ли натуральные решения уравнения `x^2012+y^2012=2013`? `TZ`
Здесь ответ, конечно, очевиден. Не знаю только, как грамотно доказать, ведь на ЕГЭ нельзя будет написать: "очевидно" и всё.
Я бы так писал:
Пусть `x=y=1`, тогда `1^2012+1^2012=2013` `<=>` `2=2013` - неверно.
Следовательно, хотя бы одно из чисел: `x` или `y` - больше 1. Наименьшее натуральное число, не равное 1, это 2. Но `2^2012+y^2012>2013`. При натуральных `x` функция `f(x)=x^2012` возрастает, следовательно, при натуральных `x>=2` для любых натуральных `y` левая часть всегда будет больше правой, и равенство не будет верным ни при каких `x in NN` и `y in NN`.
Таким образом, натуральные решения уравнения `x^2012+y^2012=2013` не существуют.
Ответ: нет.
Мне кажется, что объяснение довольно корявое и недостаточное. Как пограмотнее написать?

Помогите разобраться. Заранее спасибо.

@темы: Олимпиадные задачи, ЕГЭ, Теория чисел

Comments

[VEk]

№1. Первый вопрос , откуда задача?
В шахматах принято за победу давать 1 очко, за ничью 0,5 очка, за проигрыш - 0. Уравнение здесь составлять придется, взяв, например, за n - количество 9-классников, и за m - количество очков , набранных девятиклассниками.

[Новый гость]

Пусть `n` - число девятиклассников, тогда `10n` - число десятиклассников, и всего `11n` участников (хотя это, может быть, и не надо). Пусть `m` - количество очков, набранных девятиклассников, тогда `4.5m` очков набрали десятиклассники. Всего было набрано `5.5m` очков (хотя это, опять же, может быть, и не надо). Найти нужно `m`. Сходные мысли у меня были, но, как я написал, уравнений всё равно нет.
VEk Я же написал: eek.diary.ru/?comments&postid=148838411#5117040.... Задача про шахматистов из 1-го варианта, уравнение - из 6-го варианта самарского сборника.

[VEk]

Про книгу понятно. Дальше, сколько всего очков разыгрывалось в турнире?

[Новый гость]

`5.5m`.

А зачем нужны были сведения об источнике?

[Garryncha]

Кстати, первая задачка просто решается.
Пусть `n` - число девятиклассников, тогда `10n` - число десятиклассников. Представим себе таблицу соревнований, где сверху вниз записаны сначала все 10-классники (`10n` человек), а потом все 9-классники (`n` человек).
Надо посчитать, сколько очков набрали между собой 10-классники, сколько между собой 9-классники и сколько очков было разыграно в матчах между 9-классником и 10-классником.
Дальше пользоваться тем, что 10-классники набрали в 4,5 раза больше очков, чем 9-классники.

[VEk]

Новый гость А теперь выразите то же количество очков через `n`.

[Новый гость]

Надо посчитать, сколько очков набрали между собой 10-классники, сколько между собой 9-классники и сколько очков было разыграно в матчах между 9-классником и 10-классником.

Как будто это так легко.

[Heor]

Новый гость
Пойдем проще. Сколько было сыграно партий?

[Garryncha]

Новый гость,

Надо посчитать, сколько очков набрали между собой 10-классники, сколько между собой 9-классники и сколько очков было разыграно в матчах между 9-классником и 10-классником.

Как будто это так легко.

Да не так трудно, если квадратную табличку нарисовать.

[Новый гость]

А теперь выразите то же количество очков через n.

Как же это сделать? На каждые 2 человека 1 очко, независимо, кто выиграет или будет ничья, т.е. результат 1-й партии - 1 очко. Но ведь люди играли друг с другом, и как всё это охватить, неясно. Как написал только что Heor, нужно знать количество партий. Вот этого я и не могу понять.

Подождите, не пишите так часто. Я не успеваю думать.
Надо посчитать, сколько очков набрали между собой 10-классники, сколько между собой 9-классники и сколько очков было разыграно в матчах между 9-классником и 10-классником.
У абсолютно нет никакого понятия о том, как это сделать. И как нарисовать квадрат с переменной стороной?

[Heor]

Новый гость
Представьте, что в турнире участвовало 5 человек. Каждый сыграл с каждым 1 партию. Сколько партий было сыграно?

[Новый гость]

20

[Новый гость]

То есть десятиклассники сыграли друг с другом `(10n)^2-10n=100n^2-10n` партий, а девятиклассники сыграли друг с другом `n^2-n` партий. НО! Десятиклассники играли и с девятиклассниками.

[Garryncha]

Новый гость

То есть десятиклассники сыграли друг с другом `(10n)^2-10n=100n^2-10n` партий, а девятиклассники сыграли друг с другом `n^2-n` партий.

Почти так, немножко неправильно. Вот сыграл 1-й с 5-м партию, как очки в таблицу поставятся? Наводящий вопрос.

[Garryncha]

Новый гость

НО! Десятиклассники играли и с девятиклассниками.

Это точно. Чтобы проще посчитать количество таких партий, представим себе таблицу соревнований, где сверху вниз записаны сначала все 10-классники (`10n` человек), а потом все 9-классники (`n` человек).
Нарисуем области, где стоят очки 9-классников между собой, 10-классников между собой, и что останется?

[Garryncha]

НО! Десятиклассники играли и с девятиклассниками.

Ну или количество таких партий можно посчитать, если из общего числа партий вычесть те, которые были только между 9-классниками или только между 10-классниками.

[Новый гость]

Всё, буду решать В1-В12 и С1-С4. Всем спасибо за помощь.

[Garryncha]

Новый гость,

Всем спасибо за помощь.

Пожалуйста.:-)

Вобщем, тогда я поделюсь своим решением, не пропадать же добру.:-)
10-классники сыграют между собой `(100 * n^2 - 10 * n) / 2` партий, а 9-классники — `(n^2 - n) / 2` партий, а партий между 9-классником и 10-классником будет `10 * n * n` — как это видно из таблицы, если сверху вниз записаны сначала все 10-классники (`10n` человек), а потом все 9-классники (`n` человек). Сколько партий сыграно, столько и очков разыгрывается.
Пусть из `10 * n * n` `p` набрали 9-классники. Заметим, что `p <= 10 * n^2`.
Тогда получаем:
`(100 * n^2 - 10 * n) / 2 + 10 * n^2 - p = 4,5 * (( n^2 - n) / 2 + p)`
Откуда находим `231 * n^2 - 11 * n - 22 * p = 0`.
Заметим, что `p <= 10 * n^2`, т.к. `p` — количество части от `10 * n * n` партий. А также `n` — натуральное.
Значит, равенство достижимо только, если `n = 1, p = 10 * n^2 = 10`.
Значит, в турнире был один 9-классник, сам с собой он не играл, но выиграл все 10 партий у 10-классников.

[Новый гость]

В1-В12, С1-С4 решил, да и С5 тоже, вернулся к С6, ещё раз пытался решить, но ничего не вышло.

Garryncha Спасибо за решение.
Насчёт количества партий разобрался.
Не понимаю со слов:

Пусть из `10⋅n⋅n p` набрали 9-классники. Заметим, что `p≤10⋅n^2`.

Вы не могли пояснить, а то не понимаю оба предложения.

[Garryncha]

Новый гость,

Не понимаю со слов: Пусть из `10⋅n⋅n p` набрали 9-классники. Заметим, что `p≤10⋅n^2`. Вы не могли пояснить, а то не понимаю оба предложения.

Т.е. между собой 9-иклассники и 10-классники разыграли `10 * n^2` очков. Часть из них взяли 9-классники, а часть — 10-классники. Каждое очко пошло в копилку либо тем, либо другим. Дак вот часть 9-классников обозначим `p`. Очевидно, эта часть не больше целого, т.е. `10 * n^2`.

[Новый гость]

Т.е. `p<1`.

[Новый гость]

А, понял, там нет знака умножить.

[Новый гость]

Всё понял, хотя и с большим трудом далась эта задача.
Спасибо за помощь.

Кто-нибудь, посмотрите задачу 2, точнее, как я её решил.

[Garryncha]

Новый гость

Всё понял, хотя и с большим трудом далась эта задача.

Замечательно.:-)

[Новый гость]

Кто-нибудь, посмотрите задачу 2, пожалуйста!

[Garryncha]

Новый гость, дак что там смотреть, у тебя всё правильно.

[Новый гость]

Просто мне кажется, что доказательство из серии "вилами по воде"...

[VEk]

Новый гость По второй задаче - нормально.

[Garryncha]

Новый гость

Просто мне кажется

Креститься надо.:-)

[Гость]

напиши решения С1 - С4 варианта, из которого 2 задание!
пожалуйста!