Интегралы

[Siroga]

Здравствуйте, помогите пожалуйста решить:
Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения первого порядка:
e^y(1+x^2)dy-2x(1+e^y)dx=0
Коэффициентты при dy и dx соответственно равны;
P= -2x(1+e^y); Q= e^y(1+x^2).
Функции P(x;y) и Q(x;y) являются одродными функциями первой степени.
Q(kx;ky)e^ky(1+kx^2)=kQ(x;y)
P(kx;ky)=-2kx(1+e^ky)= kP(x;y)
Предпологая,что y=ux, находим dy=uxd+xdu.
e^ux(1+x^2)(uxd+xdu)-2x(1+e^ux)dx=0

@темы: Дифференциальные уравнения

Comments

[_ТошА_]

Функции P(x;y) и Q(x;y) являются одродными функциями первой степени.

А как вы из степени выносить собрались?
С однородностью косяк. А вот разделяющиеся переменные на лицо

[Siroga]

e^y(1+x^2)dy-2x(1+e^y)dx=0
Делем обе части на (1+x^2)(1+e^y)
(e^2dx)/(1+e^y)-(2xdx)/(1+x^2)

[_ТошА_]

дифференциалы перепутали. Берите интегралы теперь

[_ТошА_]

Вы после деления хотя бы буковки правильно перепишите.

[_ТошА_]

нет

[Siroga]

(e^ydy)/(1+e^y)-(2xdx)/(1+x^2)=0
(e^y)ln|1+e^y)+2(arctgx)=C

[Siroga]

(e^ydy)/(1+e^y)-(2xdx)/(1+x^2)=0
(e^y)/2 ln(1+e^y)- ln(1+x^2)=ln|C|

[_ТошА_]

нет

[Siroga]

А что не правильно:
1)(e^y)/2 ln(1+e^y)
2)- ln(1+x^2)=ln|C|

[_ТошА_]

1

[_ТошА_]

у вас ∫e^ydy/(1 + e^y) вот такой интеграл

[_ТошА_]

нет

[Siroga]

∫e^ydy/(1 + e^y)= ∫(e^y)/(1 + e^y) dy + ∫(dy)/(1 + e^y)= e^y+arctg(e^y)+C

[_ТошА_]

нет

[_ТошА_]

`int e^y (dy)/(1 + e^y) = int (d(e^y))/(1 + e^y) = ln|1 + e^y| + C`

[Siroga]

(e^ydy)/(1+e^y)-(2xdx)/(1+x^2)=0
ln|1+e^y|- ln(1+x^2)=ln|C|
Общее решение:
1+e^y=C(1+x^2)

[_ТошА_]

да

[Siroga]

Спасибо !

[Гость]

Помогите упростить int(ydy/e^y)