Задачки с площадями и объемами

[ritmix10]

Привет всем))
1.Вычислить площадь веретенообразной поверхности, образованной вращением одной арки синусоиды y=sinx
вокруг оси абсцисс.

2.Вычислить объемы тел, ограниченных параболоидом z=x^2+2y^2 и эллипсоидом x^2+2y^2+z^2=6.


Для первого задания у меня есть формула `S=2pi int_a^b y(x)*sqrt(1+(y')^2)dx`
Нашел производную и подставил
`S=2pi int_0^pi sinx*sqrt(1+cos^2(x))dx`
А вот как дальше преобразовать....???

А для второго задания можно найти
1.предел интегрирования подставив z.
2.потом поделить каждое уравнение на z
3.`S=pi*a*b` а и b тоже можно найти тока с 6 что делать?

@темы: Приложения определенного интеграла

Comments

[Alisa_Selezneva]

В задании № 1 для вычисления определённого интеграла сделайте замену: `t=cosx`.

[Alisa_Selezneva]

К заданию № 2 сделала рисунки:

[ritmix10]

вот мое решение 2 задания

решение 2

продолжение

как тут?

[Alisa_Selezneva]

Задание №2 сделано неправильно! Откуда у вас взялось `z=4`???
И вообще каким методом нужно решить эту задачу? Пользуясь двойными интегралами, тройным интегралом или формулой для объёма тела с переменной площадью сечения?

[ritmix10]

формулой для объема
`V=int_a^b S*dh`
`S=pi*a*b`
z=h!

[ritmix10]

кстати за подсказку первого спс))
решил!

[_ТошА_]

формулой для объема

она не такая.

[ritmix10]

как не такая??????????????????????????????????????

я даже в группе по такой делал и с ответом все норм было!

а какая же тогда?

[_ТошА_]

ritmix10 аа, я думал вы объём тела вращения ищите.
А в вашем случае не знаю какая, может и эта, выводить надо. Через двойной-тройной интеграл считается элементарно просто

[ritmix10]

покажи как через двойной или тройной

[_ТошА_]

Вам же Alisa_Selezneva сделала великолепную картинку!

Вычислить объемы тел, ограниченных параболоидом z=x^2+2y^2 и эллипсоидом x^2+2y^2+z^2=6.

Объём - это тройной интеграл от единицы, то есть `int int int dxdydz` по телу, что ограничено.
Я бы ввёл обобщённую цилиндрическую систему координат.
То есть:
`x = rcos(phi)`
`y = 1/sqrt(2)*rsin(phi)`
`z = z`
Якобиан равен r/sqrt(2).

Проекция на плоскость Oxy - эллипс. Посмотрим, какие у него компоненты.
`z^2 + z = 6`
`z = -3, z = 2`
Нам подходит z = 2, значит проекция будет `x^2 + 2y^2 = 2 <=> r^2 = 2 => r = sqrt(2)`

Осталось посмотреть от чего до чего меняется z. z меняется от параболоида до эллипсоида. Вычислим z через r, `phi`

Параболоид: `z = x^2 + 2y^2 => z = r^2cos^2(phi) + r^2sin^2(phi) = r^2`
Эллипсоид: `z = sqrt(6 - x^2 - 2y^2) = sqrt(6 - r^2)`
Тогда интеграл:
`V = int_(0)^(2pi)d(phi)int_(0)^(sqrt(2))drint_(r^2)^(sqrt(6 - r^2))r/sqrt(2)dz`
Ну, если я сам не намудрил где-то

[ritmix10]

а разве не должно быть `sqrt 6+r^2`

[_ТошА_]

нет, тут вроде всё чисто

[ritmix10]

не мне надо через мою формулу решить
хотя вроде правильно все сделал
нашел a и b