Сходимость ряда

[!]

`TZ` Дано: `sum_(n=1)^(infty) a_n=+infty`, `a_n >= 0`

Доказать сходимость ряда `sum_(n=1)^(infty) a_n/(s_n)^2`, где `s_n=sum_(k=1)^n a_k`.[[/TZ]]

Заранее спасибо.

@темы: Ряды

Comments

В формате скрипта Дано выглядит так:
`sum_(n=1)^(infty) a_n=+infty`
Доказать сходимость ряда `sum_(n=1)^(infty) a_n/(s_n)^2`, где `s_n=sum_(k=1)^n a_k`.

[_ТошА_]

А где, собственно, попытки? Надо конечно вспомнить, что сумма ряда = предел последовательности частичных сумм

[!]

_nobody у меня он не работает почему-то.

_ТошА_ я потратил на эту задачу 2 часа. К сожалению, не получилось. Поэтому и спросил здесь.

[_ТошА_]

ну мне интересно посмотреть ваши попытки, которые ни к чему не привели по вашим словам

[!]

Ща напишу, чего я надумал...

[!]

Вот если собрать самые удачные на мой взгляд мысли, то получается что-то такое:

!,

у меня он не работает почему-то.

Инструкция по установке скрипта тут. И, пожалуйста, скопируйте формулы с апострофами в заголовочное сообщение записи (если это возможно технически).

[!]

_nobody я уже разобрался. Просто когда я установил, я не перезапустил браузер.
Теперь все работает.

[Дилетант]

!
Вторую сумму можно оценить абсолютно аналогично:
`s_(n-1)/(s_n)^2<s_(n-1)/(s_(n-1)*s_n)=1/s_n`
Только мне кажется, что это доказательство неверное.
Если взять в качестве a_n такие числа, что s_n -- последовательные натуральные числа (т.е., ряд: 1, 1, 1, ...), естественно, он расходится. Частичные суммы стремятся к бесконечности.
Но ведь при этом расходятся и образованные вами два ряда, потому что они получаются рядами гармоническими.
Разбивать так нельзя.

[!]

Дилетант да, вы правы.
Может у вас есть какие-нибудь идеи?

[Дилетант]

Пока нет...

[!]

Я тут вроде решил, используя логарифмический признак сходимости:

`ln(1/(a_n))/ln(n) <= 1`
`ln(a_n)/ln(n) >=-1`

`(ln((s_n)^2/a_n))/ln(n)=ln((s_n)^2)/ln(n)-ln(a_n)/ln(n) >= ln((s_n)^2)/ln(n)+1`

`a_n->inf => s_n->inf => ln((s_n)^2)/ln(n) >0`

`ln((s_n)^2/a_n)/ln(n) >1 `

Поэтому ряд сходится

Как думаете, решение правильное?

[!]

Не...
Не правильно. Там знак должен быть в другую сторону...

[!]

А вот еще вариант, используя признак Куммера:

`a_n` - расходится
`b_n=1/a_n`
`c_n=a_n/((s_n)^2)`
`K_n=b_n*c_n/c_(n+1)-b_(n+1)=1/a_n*a_n*(s_(n+1)^2)/(((s_n)^2)*a_(n+1))-1/a_(n+1)=`
`=1/(a_(n+1))*((s_(n+1)/(s_n))^2-1)=1/(a_(n+1))*((s_(n)/(s_n))^2+2*a_(n+1)/s_n+(a_(n+1))^2/((s_n)^2)-1) >delta`

Вроде получается, хотя хз.

[Дилетант]

Так тоже не получается(
После приведения подобных остаются два слагаемых и они оба стремятся к нулю.
(Или по крайней мере второе надо оценивать, но непонятно, как).

[!]

Оба эти слагаемых больше нуля (потому что `a_n` это неотрицательный ряд). Поэтому и сумма будет больше нуля и можно найти `delta` такой, какой и требует этот признак.

[Дилетант]

! дельта должна быть одна и та же для всех n, начиная с некоторого.
Сумма этих слагаемых может сколь угодно близко подходить к нулю, оставаясь больше него. И такой вариант этому признаку не подходит.
Она должна быть ограничена снизу.

[Дилетант]

Может быть так: рассмотреть два случая. 1) an - ограничена. существует такое число А, что an<A.
Тогда
`sum_(n=1)^(infty) a_n/(s_n)^2 < A*sum_(n=1)^(infty) 1/(s_n)^2`, а этот ряд можно сравнить с обобщенным гармоническим с показателем 2, и он сходится.

2) an -- неограничена сверху. Тут не знаю, как рассуждать.

[!]

Дилетант а как-то математическими выражениями это можно показать? А то я как-то не понимаю почему дельта не может быть "очень маленьким"...

[!]

Дилетант кстати, если взять например ряд 1, 1, 1, ... То мы получим обобщенный гармонический ряд. Если он будет постоянно увеличаться, например 1,2,3,4... То ряд будет сходиться еще быстрее. Может можно это как-то математически написать?

[Дилетант]

!
Дельта может быть очень маленьким и даже очень-очень-очень маленьким, но она не должна зависеть от n!
Т.е. например нужно, чтобы можно было сказать, что при дельта=0.0000...00001 это неравенство выполняется для всех n. Т.е это фиксированная величина. Вы можете ее зафиксировать как-то исходя из того выражения?

кстати, если взять например ряд 1, 1, 1, ... То мы получим обобщенный гармонический ряд. Если он будет постоянно увеличаться, например 1,2,3,4... То ряд будет сходиться еще быстрее.

Это я и сама понимаю.
А вдруг есть такой ряд, каждый член которого растет быстрее чем квадрат суммы предыдущих членов? А? Что тогда?

[!]

Дилетант теоретически оно существует. Потому что `1/s_n` никогда не будет равно 0. Только при несуществующем числе "бесконечность".

А вдруг есть такой ряд, каждый член которого растет быстрее чем квадрат суммы предыдущих членов? А? Что тогда?

Вряд ли такой ряд существует. Тогда бы задача была неверна

[Дилетант]

!
Вы определение предела проходили?
Предел `1/s_n` это 0. И поэтому никакого дельта единого для всех n, не существует. Иначе предел был бы вовсе не 0, а число, превосходящее дельту, или равное ей.

Со вторым утверждением согласна, но его надо доказывать как-то...
Или совсем по-другому задачу решать.

[!]

Предел это 0. И поэтому никакого дельта единого для всех n, не существует. Иначе предел был бы вовсе не 0, а число, превосходящее дельту, или равное ей.

Да... В общем-то так. Что-то я сморозил
Но тогда по признаку получается, что ряд расходится. Потому что Kn->0. Значит где-то в моем решении есть ошибка. Где?

Со вторым утверждением согласна, но его надо доказывать как-то...
Или совсем по-другому задачу решать.

Достаточно найти только один такой ряд, чтобы доказать что утверждение неверно.

[Дилетант]

)))
Ну дело-то в том, что у вас там в числителе не единица, и поэтому нельзя с уверенностью сказать, что предел там равен нулю. В том-то и дело. Просто признак не работает. Надо искать другой.

Насчет "неверно" -- да нет, он сходится, только надо думать, как это доказать.

Похоже я вас только больше запутываю (

[_ТошА_]

Я чего-то не понимаю?
`a_n = S_n - S_(n - 1)`
`sum a_n/(S_n)^2`

`S_n > S_(n - 1)`

`0<=|a_n/(S_n)^2| = |1/S_n - S_(n-1)/(S_n)^2| <= |1/S_n - S_(n)/(S_n)^2| = 0`

[!]

Дилетант да почему же. Вот так в обсуждении и получится что-нибудь.

И если предел не равен нулю, значит есть нужная нам дельта

[Дилетант]

_ТошА_
Я тебя ждала!!!
Ну, необходимый признак выполнен. А дальше?

[!]

_ТошА_ я тоже как-то к этому выводу пришел, когда решал. Но особо не углублялся, видя что получается какой-то парадокс и поэтому подумал, что такое решение неверно.

[_ТошА_]

Так а при чём тут необходимый, получилось, что мы общий член нулём оценили.
Или я чего-то не понимаю?