В кольце вычетов по модулю m, обратимыми элементами являются вычеты, взаимно простые

[flame19]

подскажите пожалуйста литературу, где можно найти доказательство этого утверждения:
В кольце вычетов по модулю m, обратимыми элементами являются вычеты, взаимно простые с модулем m.
пересмотрела несколько книг, но не нашла ничего... может кто знает конкретные названия необходимой литературы??? буду очень благодарна

@темы: Высшая алгебра

Comments

[_ТошА_]

Пусть класс вычетов `[B]` взаимнопрост с `m`, значит `AA b in [B] (b, m) = 1`
Докажем, что `[B]`обратим.

Из того, что `(b, m) = 1` следует, что существуют х, у из Кольца: `x*b + y*m = 1` (по теореме о НОД). Перепишем: `x*b - 1 = -y*m`
А это то же самое, что сравнение `x*b = 1 (mod m)`

Оказалось, что существует обратный элемент. Все рассуждения распространяются сразу и на классы вычетов.

[Alidoro]

Это простое следствие из следующей теоремы: Если НОД(m,k)=s, то существуют такие целые a,b, что am+bk=s.
А теорема эта есть в любом учебнике. Напремер, в Курош. Курс высшей алгебры.
Теорема применяется так: Имеем s=1, тогда b после приведения к диапазону 0, m-1 даст нам искомое обратное.

[flame19]

спасибо большое!! попробую разобраться)

[flame19]

а можно вот ещё спросить что значит "b после приведения к диапазону 0"??? не очень понятно...

[Гость]

Остаток

[_ТошА_]

по модулю m классы вычетов есть 0, 1, 2, 3, ...., m - 1
Соответственно любое число входит в один из классов.

[Alidoro]

Класс вычетов по модулю m принято обозначать представителем из диапазона 0..m-1. То есть к b нужно добавить некоторое кратное m чтобы результат попал в этот диапазон.

[flame19]

x*b = 1 (mod m) т.е. это тоже остаток по модулю m??

[Alidoro]

Не понял. Остаток не бывает по модулю m. Остаток бывает от деления на число.
Ваше x*b = 1 (mod m) это некоторое утверждение, а остаток это некоторое число.
Естественно, утверждение не является числом.

[flame19]

т.е. да, остаток от деления на m...
всё до равенства am+bk=1 (включая его самого) мне понятно.... не понятно что дальше?... Вы говорите что к b нужно добавить некоторое кратное m чтобы результат попал в этот диапазон. но это уже записано в равенстве am+bk=1, если правильно понимаю (т.е. к b прибавили am)...

[_ТошА_]

добавлять к b, чтобы попало в диапазон, вас никто не заставляет. Просто так удобнее, и всё

[Alidoro]

Непонятно, почему это вас так заботит. То, что вам нужно было доказать, вы доказали. Если бы вам нужно было ВЫЧИСЛИТЬ обратный, тогда другое дело. Тогда вы получили бы по обобщенному алгоритму Евклида, к примеру b=-326 и после этого прибавляли к b несколько раз число m, чтобы b оказалось в нужном диапазоне.

[flame19]

просто мне не понятен этот скачок... но если это не столь важно, тогда всё в порядке))

[Robot]

Литература по теории чисел
Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для студентов- заочников II курса физ.-мат. фак. пед. ин-тов (Н. А. Казачек,Г. Н. Перлатов, Н. Я. Виленкин, А. И. Бородин; Под ред. Н. Я. Виленкина.
стр114

[Гость]

какой сейчас год?

[All_ex]

Гость, какой сейчас год?
написано в дате Вашего комментария...