С6 из диагностической работы

[Новый гость]

Здравствуйте.
Известно, что уравнение `x^3+px+q=0` имеет три различных корня, абсолютные величины двух его корней являются простыми числами. Найдите корни всех таких уравнений.
Попытки решения (безуспешные):
Единственная мысль была - что-нибудь сделать по теореме Виета:
`{(x_1+x_2+x_3=0),(x_1*x_2+x_1*x_3+x_2*x_3=p),(x_1*x_2*x_3=-q):}`.
Из первого уравнения видим, что, так как "абсолютные величины двух его корней являются простыми числами", а в сумме все три корня дают 0, то третий корень будет целым числом.
Значит, что `p` и `q` - целые числа (хотя это какое-то побочное следствие, и это не нам ничего не даёт).
Из первого уравнения выражаем: `x_1=-x_2-x_3`; из третьего выражаем `x_1*x_2=-q/x_3`; оба выражения подставляем во второе уравнение:
`-q/x_3+(-x_2-x_3)*x_3+x_2*x_3=p`,
`-q/x_3-x_2*x_3-x_3^2+x_2*x_3=p`,
`-q/x_3-x_3^2=p`
`-q-x_3^3=p*x_3`.
Когда я дошёл до этого момента, понял, что дальше решать таким образом бессмысленно, в лучшем случае я получу громоздкие вычисления на несколько страниц и потом громоздкие формулы для корней, но нужно найти не формулы, а сами корни - это же С6.
Подскажите, как решить задачу. Заранее спасибо.

@темы: Олимпиадные задачи, ЕГЭ, Теория чисел

Comments

[Гость]

А ответ есть?

[Trotill]

Странное задание.

Если выбрать

x_1 = p_1
x_2 = p_2
x_3 = -(p_1+p_2)

то получится уравнение требуемого вида, а значит уравнений и решений бесконечное множество. Или я чего не понял...

[Trotill]

Точнее, нужно дополнительно проверить на выполнение x_1 != x_2 != x_3, но это сути моих претензий не меняет.

[VEk]

Новый гость Можно ссылку на первоисточник задачи.

[Новый гость]

Эта задача из книжки "Математика. Диагностические работы в формате ЕГЭ(2011)" (Вариант 6, стал изучать книгу с конца) от Ященко и его команды. Ответ, конечно, есть.
Ответ: 2, -3, 6; -2, 3, 6.
Две тройки решений. Что-то симметричное.

[Trotill]

Если корни такие, тогда уравнение x^3-7 x^2+36 = 0 - не совпадает с условием.

[VEk]

Скорее всего какая-то опечатка, поскольку ответы противоречат теореме Виета (сумма корней не равна 0).

[Новый гость]

Нет, нет, неправильно написал. Минус забыл перед одним из корней.
Ответ: 2, -3, -6; -2, 3, 6.

[Trotill]

Новый гость

Предлагаю самостоятельно найти многочлен с такими корнями.

[VEk]

У Вас сумма корней ( по ответу в книжке) равна `+-7`, а по теореме Виета должна быть равна 0. Противоречие. Значит, что-то неверно с условием (для книг по ЕГЭ от МЦНМО это характерно).

[Новый гость]

Не знаю, может быть это я всё-таки неправильно напечатал.


В общем, эта задача неразрешима или я неправильно перепечатал?
А если в ответе/условии ошибка, то как тогда должно быть правильно?
А если там нет ошибки, может быть, всё-таки можно как-то решить?

[VEk]

Новый гость Ответ и уравнение не соответствуют друг другу. А угадать, как должно выглядеть уравнение, мы не можем. Это вопрос к авторам -составителям.Может быть должен быть член `px^2` вместо `px`.

[Garryncha]

VEk,

А угадать, как должно выглядеть уравнение, мы не можем.

Дак может, с уравнением всё в порядке, это ответ неправильный?

[к.черный]

ответ соответствует уравнению `x^3+px^2+q=0`

[Новый гость]

Хорошо, а как тогда решить `x^3+px^2+q=0`? По Виету всё равно ничего хорошего не получится.

[Garryncha]

Если решать `x^3+px^2+q=0`, по теореме Виета получается:
`{(x_1+x_2+x_3=-p),(x_1*x_2+x_1*x_3+x_2*x_3=0),(x_1*x_2*x_3=-q):}`
Если считать, что x_1 и x_2 — простые, то из второго уравнения находим, что x_1 и x_2 — делители x_3.
Наверное, это поможет дальше, не дорешал.

[VEk]

Garryncha Это если полагать, что p и q целые. В условии этого не сказано. Но можно попробовать решить при таком предположении.

[Новый гость]

Если считать, что x_1 и x_2 — простые, то из второго уравнения находим, что x_1 и x_2 — делители x_3.

Не понял, объясните, пожалуйста.

[Новый гость]

VEk Но как раз из второго уравнения следует, что x_3 - целое, а значит, из 1-го и 3-го получаем, что p и q целые. И как же дальше решать?
Garryncha Не совсем понял утверждение, что x_1 и x_2 — делители x_3. Почему это так?

[VEk]

Возьмите `x_1=2, x_2=7`, тогда `x_3=-14/9`. Явно целое число.

[Garryncha]

Вобщем, я поторопился, надо ещё доказать, что все корни — целые, но если они целые, то это так, во втором уравнении надо по очереди вынести x_1 и x_2 за скобки.

[Новый гость]

вынести x_1 и x_2 за скобки.

Вынес, а что это даёт?

[VEk]

Пусть `x_1, x_2` - корни, модули которых простые числа. Если p- целое, то `x_3` также целое, и тогда из второго уравнения следует, что произведение простых чисел делится на их сумму. Отсюда следует, что сумма по модулю равна 1, т.е числа 2 и -3 или -2 и 3. Далее из второго уравнения находим `x_3`.
А вот если `p` не является целым, то даже подходов к решению не вижу.

[Garryncha]

Допустим, `x_1*(x_2+x_3)+x_2*x_3=0`, и все корни целые.
Первое слагаемое делится на x_1, значит, и `x_2 * x_3` тоже. (Легко проверить, что если `x_2 + x_3 = 0`, то не будет трёх разных корей.) Т.к. `x_2, x_1` простые, значит, не имеют общих делителей (легко проверить, что если `x_2 = -x_1`, то не будет трёх разных корней). Значит, x_1 делит x_3.

[Garryncha]

А вот если `p` не является целым, то даже подходов к решению не вижу.

А может, авторы забыли дописать, что коэффициенты целые.

[VEk]

Это вполне возможно. Книги делают со скоростью машинописи на компьютере. Слово пропустили, показатель степени не написали. Подумаешь, мелочи!

[к.черный]

я решала, рассматривая только коэффициент при х
`ab+bc+ac=0` a, b, c - корни уравнения

`a(b+c)=-bc`/

А дальше, предположив, что простыми являются в и с, рассматривала различные случаи для а:
1) `a=+-b`

2) `a=+-1`

3) `a=+-bc`

[VEk]

к.черный Т.е. опять же использовали то, что a - целое.

[Garryncha]

Да, так и есть. Ведь тогда получается, что можно взять любую пару чисел +/- a, +/- b, где a и b — разные простые — в качестве x_1, x_2, вычислить x_3 из второго уравнения, и получить три различных корня. Это и будут все возможные решения уравнения заданного вида.

[Новый гость]

Нет, мне кажется, мы сами должны доказать, что коэффициенты целые. Думаю, за недоказанное утверждение на ЕГЭ могут балла два снять - на сайте ФИПИ появились рекомендации экспертам по проверке работ.
Может быть, эта задача, как и большинство, позаимствована из какого-нибудь сборника олимпиадных задач. Можно поискать первоисточник.

произведение простых чисел делится на их сумму. Отсюда следует, что сумма по модулю равна 1, т.е числа 2 и -3 или -2 и 3.

Это не нужно доказывать?