пятница, 18 февраля 2011
01:44

Проконсультируйте!

все записи пользователя в сообществе ellipsoid
Есть такая задача:
`TZ` Найти момент инерции относительно оси OZ однородного тела, ограниченного поверхностями:
`x+y-1=0`; `x-y-1=0`; `x=0`; `z=0`; `z-2=0` [[/TZ]]

Я вот чего не пойму: тут делать через тройной интеграл, а интегралы от чего брать хоть?
Вот такого плана:

`Iz = int int int (x^2+y^2)dx dy dz`

Или просто будет как `int_(x1)^(x2) dx int_(y1)^(y2) dy int_(z1)^(z2) dz` и только пределы расставлены?

На картинке там получается в итоге что-то типа объемного треугольника...

@темы: Приложения определенного интеграла, Кратные и криволинейные интегралы

URL
Комментарии
18.02.2011 в 03:37

VEk
Белый и пушистый (иногда)
Правильно `I_z`. Только там надо расставить пределы аккуратно
URL
18.02.2011 в 05:25

Alisa_Selezneva
ellipsoid, вот рисунок! Всё делается точно также, как в предыдущем задании с объёмом тела: eek.diary.ru/p146984045.htm
читать дальше
URL
18.02.2011 в 20:25

ellipsoid
Да, я как раз такое же на листочке нарисовал ! )
URL
18.02.2011 в 20:36

ellipsoid
У меня вот такого плана интеграл получается:

`I_z = int_(0)^(1) dx int_(x-1)^(1-x) dy int_(0)^(2) dz`

Что скажете?
URL
18.02.2011 в 23:28

Alisa_Selezneva
ellipsoid, а куда делась подынтегральная функция? Куда она пропала?
URL
18.02.2011 в 23:37

ellipsoid
Alisa_Selezneva, ну вы же сказали что делается всё как в прошлом моём примере!
А там у меня были только dx-dy-dz и пределы интегрирования расставлены!
URL
19.02.2011 в 00:00

Alisa_Selezneva
ellipsoid, я имела в виду, что принцип решения задачи точно такой же! Прочтите ещё раз замечание VEk!
URL
19.02.2011 в 00:06

ellipsoid
:)
`I_z = int_(0)^(1) dx int_(x-1)^(1-x) dy int_(0)^(2) (x^2+y^2) dz` вот так?

Но вот насчёт `(x^2+y^2)` честно говоря я сомневаюсь что-то...
URL
19.02.2011 в 00:08

Alisa_Selezneva
ellipsoid , да теперь верно! Продолжайте вычисления!
URL
19.02.2011 в 00:13

Alisa_Selezneva
ellipsoid, какие могут быть сомнения? Вы в самом первом своём посте верно записали формулу для момента инерции `I_z`. При переходе от тройного интеграла к повторному подынтегральная функция сохраняется. А то странное дело получается: сначала в тройном интеграле у вас была подынтегральная функция `x^2+y^2`, а потом, когда вы перешли к повторному интегралу, она почему-то превратилась в единицу!
URL
19.02.2011 в 00:16

ellipsoid
Понял вас :)
Сейчас решим'c )
URL
19.02.2011 в 00:24

ellipsoid
А тут надо будет переходить к другим координатам?
Типа:
`x=r*cos a`
`y=r*sin a` ...
URL
19.02.2011 в 00:30

Alisa_Selezneva
ellipsoid, задачу можно решить разными методами! Попробуйте сначала не переходить к новым переменным!
URL
19.02.2011 в 01:13

ellipsoid
Вот что получилось (такое мощное решение и такой простой ответ, наверно где-то напортачил):


URL
19.02.2011 в 01:27

Alisa_Selezneva
ellipsoid, у вас получился определённый интеграл, приведенный на рисунке, но вы его неверно вычислили.

URL
19.02.2011 в 01:32

ellipsoid
Ой, да...
там получится:

`-4/3 +8/3 -2+4/3 = 2/3`, так?)
URL
19.02.2011 в 01:33

Alisa_Selezneva
ellipsoid, да, теперь правильно!
URL
19.02.2011 в 01:37

ellipsoid
А такой вопрос: тут в ответе не должно быть ПИ, как и в прошлом моём примере с вычислением объёма...?:)
URL
19.02.2011 в 01:39

Alisa_Selezneva
ellipsoid, нет, `pi` не должно быть в ответе!
URL
19.02.2011 в 01:42

ellipsoid
Отлично)
Alisa_Selezneva, очередной раз благодарен вам за помощь вашу!
img1.liveinternet.ru/images/attach/c/1/60/913/6...
URL
19.02.2011 в 01:45

Alisa_Selezneva
ellipsoid, ой как красиво! Спасибо большое, мне очень-очень приятно! :)
URL
19.02.2011 в 01:48

Alisa_Selezneva
ellipsoid, подождите, мы же ещё второй способ решения не рассмотрели! Можно перейти к цилиндрическим координатам!
URL
19.02.2011 в 01:50

ellipsoid
Неееее, мне этого вполне хватит ))
URL
19.02.2011 в 01:54

Alisa_Selezneva
ellipsoid, очень-очень зря! Бывают случаи, что при вычислении тройных интегралов переход к другим координатам, например цилиндрическим, сферическим, значительно упрощает вычисление интеграла! Решение, которое может занять три листа рукописного текста можно заменить на две маленькие строчки!
URL
19.02.2011 в 02:03

ellipsoid
>>...можно заменить на две маленькие строчки!
В которых я обязательно(!) напортачу и буду решать эти 2 строчки пару дней:)
Оставлю лучше так)
Еще раз спасибо вам за всё! :)
URL
19.02.2011 в 02:11

Alisa_Selezneva
ellipsoid, кстати я посмотрела второй способ и поняла, что переход к цилиндрическим координатам в данном случае только усложнит дело: нужно будет разбить область интегрирования (призму) на две части (на две призмы) и представить данный тройной интеграл в виде суммы двух тройных интегралов, далее интегралы получаются сложнее, чем при первом способе решения.
URL
19.02.2011 в 02:12

Alisa_Selezneva
ellipsoid , пожалуйста! :)
URL