Подскажите пожайлуйста! (МатАнализ)

[ellipsoid]

Добрый день!
Есть два задания, не пойму как решать их, точнее хоть с какой стороны подойти к ним)

1. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:
`int_(0)^(e^(-2)) (dx/(x*ln^3(x)))` (вот этот вообще не пойму как делать)

2.Вычислить объём тела, ограниченного заданными поверхностями. Сделать чертеж.
`x^2+y^2=9`; `y+2*z-6=0`; `z=0` (такой пытался делать по аналогии с примером eek.diary.ru/p146628404.htm, но какая-то ересь получается)

@темы: Математический анализ, Интегралы

Comments

[Heor]

ellipsoid
1. `(dx)/x = d(...)` внесите 1/x под знак дифференциала
2. Выложите чертеж.

[Alidoro]

1. Попробовать сначала взять неопределенный интеграл.
2. Выяснить, как расположены поверхности и какое тело они ограничивают. Нарисовать чертеж.

[ellipsoid]

Да, кстати, подскажите еще, чем можно график такой xyz строить?
Когда X и Y - это не проблема, а вот с 3-мя координатами не найду программ никаких...

[ellipsoid]

Heor , насчёт 1-го попробую сейчас)

[Heor]

ellipsoid

Да, кстати, подскажите еще, чем можно график такой xyz строить?

Руками. Вам все равно нужны будут проекции для того, что бы задать границы интервалов.
Так что стройте сначала в плоскости xy (z=0), потом в yz (x=0), а потом в zx (y=0).
И только после этого объединяете. В точности так же, как на черчении.

[ellipsoid]

Первый пример я вот так решал:

`int_(0)^(e^(-2)) (dx/(x*ln^3(x)))`

Сделал замену:
`ln x=u; x=1/u; dx/x=du; dx=du/u;`

`int (((du)/u)/((1/u)*u^3)) = int (((du)/u)*(u/u^3)) = int ((du)/u^3) = int (u^(-3) (du) = -int (u^(-2))(du)/2) = -int((du)/2*u^2)`

Вопрос: как тут после замены поменяются у меня пределы интегрирования ?

[Heor]

ellipsoid
Вы написали какую-то чушь. Хотя замена правильная.
Как меняется ln(x) на интервале `x in (0, e^(-2))`

[ellipsoid]

Извините, вот после того как я сделал замену, что я не так написал тут?

`int (((du)/u)/((1/u)*u^3)) = int ((du)/u*u/u^3) = int ((du)/u^3) = int (u^(-3) du) = -int (u^(-2)du)/2 = -int((du)/(2*u^2))`

[Heor]

вот до `int (u^(-3) du)` все верно. А следующая цепочка абсолютно не понятна. Интеграл остается, а какие-то цифры появляются и степени меняются... бред.

`int (u^(-3) du) = -int (u^(-2)du)/2 = -int((du)/(2*u^2))`

[Alidoro]

У вас выше неправильно, а кое-где и бессмыслица. Почему у вас `x=1/u` если вы делали замену `ln x=u` ? что означает `d u/u`?

[ellipsoid]

Heor ну вроде бы вот из таких соображений концовку цепочки этой делал:

`int x^n dx = int ((x^(n+1))/(n+1)) + const`...

А потом просто `u^(-2)` перенес в знаменатель

Alidoro, да что-то много всего понаписал я ...

[Heor]

ellipsoid
Это с какой радости эти два интеграла должны быть равны. Бред!

[Heor]

ellipsoid
Если не верите, то можете вычислить левый интеграл, а потом правый и сравнить результаты!

[ellipsoid]

Да, вы правы, ерунду я сморозил...
Очевидно вот так должно быть
`int (u^(-3) du) = -(u^(-2))/2 = -1/(2*u^2)`

[Heor]

Это верно.

[ellipsoid]

как вы спросили:
Как меняется ln(x) на интервале `x in (0, e^(-2))`

Ну график ЛН который он вроде бы в 4й четверти идёт от оси У снизу и потом всё больше вправо...ну как бы возрастает

[ellipsoid]

А сам график для исходной функции:

`(1/(x*ln^3(x)))`

Выглядит вот так:

[Heor]

Ну график ЛН который он вроде бы в 4й четверти идёт от оси У снизу и потом всё больше вправо...ну как бы возрастает

Верно. Вот и напишите, как меняется логарифм. График Вы описали абсолютно верно. Теперь тоже самое, только числами.
Функция `ln(x)` на интервале `x in (0, e^(-2))` принимает значения в интервале ... и является монотонно возрастающей. А потому, пределы интегрирования изменяться следующим образом ...

[ellipsoid]

Да...переделал я всё сначала....замены там правда дурацкие были про x=1/u...
Вот так получилось:

`int_(0)^(e^(-2)) (dx/(x*ln^3(x)))`

Сделал замену:
`u=ln x; du=dx/x; x=e^u; dx=e^u du;`

`int_(-oo)^(-2) ((e^u du)/(e^u * u^3)) = int_(-oo)^(-2) ((du)/u^3) = int_(-oo)^(-2) (u^(-3) du) = -(u^(-2))/2 = -1/(2*u^2) = -1/8 - 0 = -1/8` (как тут нарисовать палку с пределами интегрирования не знаю)

Что скажете ?

[ellipsoid]

А насчёт 2-го задания, график я нарисовал, вот такой получился:

Т.е, как я понимаю, это типа такого "туннеля" получается, который прорезает зелёная плоскость...т.е сбоку вот так будет:

Ну и конечно же что z=0 там чисто плоскость z обрезает этот "туннель" поперёк как бы...

[Alisa_Selezneva]

ellipsoid, а почему у вас на первом рисунке изображена полуокружность?

[ellipsoid]

Alisa_Selezneva, ну там же по условию z=0....эта плоскость вроде бы как и отсекает нижнюю часть этого "туннеля"

[Alisa_Selezneva]

ellipsoid, какую геометрическую фигуру в прямоугольной системе координат `Oxyz` задаёт уравнение `x^2 +y^2=9` ?

[ellipsoid]

Alisa_Selezneva, вроде бы окружность...

[Alisa_Selezneva]

ellipsoid, то есть вы полагаете, что это окружность? Хорошо! Как известно, окружность является плоской фигурой, т.е. все её точки принадлежат одной плоскости! Какой плоскости принадлежит ваша окружность? Запишите уравнение этой плоскости.

[ellipsoid]

...с центром (0; 0) и радиусом 3 ...

[Alisa_Selezneva]

ellipsoid
...с центром (0; 0) и радиусом 3 ...
Вообще-то каждая точка в трёхмерном пространстве имеет 3 координаты.
И ещё вы не ответили на мой предыдущий вопрос! Я просила написать уравнение плоскости, которой принадлежит окружность.

[ellipsoid]

Ну это не окружность, а вытянутая такая как "туннель", типа цилиндра....даже не знаю как выразиться

[ellipsoid]

Да вроде бы стандартной, т.е "ХУ"

[Alisa_Selezneva]

Мдааа, не мешало б вам книжечки почитать по Аналитической геометрии, например есть очень хорошая серия: Математика в Техническом университете, Издательство МГТУ имени Баумана (комплекс учебников из 21 выпуска), вам нужен выпуск 3.