Подскажите пожайлуйста! (МатАнализ)

[ellipsoid]

Добрый день!
Есть два задания, не пойму как решать их, точнее хоть с какой стороны подойти к ним)

1. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:
`int_(0)^(e^(-2)) (dx/(x*ln^3(x)))` (вот этот вообще не пойму как делать)

2.Вычислить объём тела, ограниченного заданными поверхностями. Сделать чертеж.
`x^2+y^2=9`; `y+2*z-6=0`; `z=0` (такой пытался делать по аналогии с примером eek.diary.ru/p146628404.htm, но какая-то ересь получается)

@темы: Математический анализ, Интегралы

Comments

[ellipsoid]

Ну...наверное как в той книжке, что вы советовали, было написано про эллипс, параболу, гиперболу...
У меня, конечно же, там не окружность получается, а, как я чуть выше писал, гипербола (или если про объемное тело, наверное это гиперболоид какой-нибудь), которая начинается в (0,0,-9), а потом её оси будут больше и больше в стороны расходиться. А т.к у нас есть`z=0` и `y+2*z-6`, то они этот парабалоид в 2-х местах разрезают...как-то так)
Не знаю что еще можно добавить)

[Alisa_Selezneva]

ellipsoid , ничего не поняла из того, что вы написали. Если вы считаете, что параллельной проекцией окружности может являться парабола или гипербола, то это не верно! Про гиперболоид я вообще не поняла! Откуда он мог вообще у нас появится?

[ellipsoid]

ЭХ, последнее что я могу предположить (и пойду, пожалуй, у кого-нибудь списывать):
Как вы сказали, взять и покрутить окружность на параллельном пучке света...как себя будет вести тень...
Единственное что я там вижу, как бы я ни крутил это дело всё, это только фигуру, похожую на эллипс и ничего другого)
А в объёме это называется Эллипсоид , как я понял)

[Alisa_Selezneva]

Мдаааа ... уж ... Вот рисунок, смотрите:

[ellipsoid]

Так я тоже самое же нарисовал у себя, разве нет?

[Alisa_Selezneva]

ellipsoid
Так я тоже самое же нарисовал у себя, разве нет?
Не знаю, может быть и так! Но судя по ответам на дополнительные вопросы, которые я вам задавала, у меня сложилось впечатление, что вы не представляете в полной мере реальной картинки! (мягко говоря ...)

[ellipsoid]

Нет!
Картинку общего результата я как раз представляю!
Я дико запутался с тем, что же за фигура такая `x^2+y^2=9` и как она называется...Ибо сколько вариантов тут я перебрал, вы про все сказали что неправильно)

[Alisa_Selezneva]

ellipsoid, в трёхмерной системе координат `Oxyz` уравнение `x^2+y^2=9` задаёт прямой круговой цилиндр (цилиндрическую поверхность), направляющей которой является окружность: `{(x^2+y^2=9),(z=0):}`, а образующими являются прямые, параллельные оси `Oz`.
При параллельном проектировании окружность может перейти либо в окружность, либо в эллипс, либо в отрезок, здесь всё зависит от направления проектирования.

[ellipsoid]

Понятно...
Что было понятно не до конца...

[ellipsoid]

Значит для нахождения объема тут надо брать тройной интеграл?

[Alisa_Selezneva]

ellipsoid, поскольку тело является цилиндроидом, то для вычисления его объёма можно использовать двойной интеграл. Хотя объём можно вычислить и с помощью тройного интеграла, но в этом нет необходимости.

[ellipsoid]

Alisa_Selezneva, т.е если брать 3ой интеграл, там по dx и по dy пределы интегрирования одинаковын получатся?

[Alisa_Selezneva]

ellipsoid
Alisa_Selezneva, т.е если брать 3ой интеграл, там по dx и по dy пределы интегрирования одинаковые получатся?
Конечно, нет!

[ellipsoid]

Гм...
Кстати, хотел вас спросить, а почему график, что вы выложили такой?
Там же вроде бы как центр должен быть в начале координат...

[Alisa_Selezneva]

ellipsoid
Гм...
Кстати, хотел вас спросить, а почему график, что вы выложили такой?
Там же вроде бы как центр должен быть в начале координат...
А он и есть в начале координат. То, что вы видите на рисунке это не координатные оси, а прямые им параллельные. Обратите внимание на шкалу.

[ellipsoid]

Ну тогда несколько странно...
Если брать, например, тройной интеграл. По dz там будет от нуля до (6-y)/2, как я понял...А вот по dx и dy не пойму тогда...
Я думал там от -3 до 3 будет

[Alisa_Selezneva]

`V=\iiint_T (1*dxdydz)`, где `T:{(a<=x<=b),(g(x)<=y<=f(x)),(q(x,y)<=z<=p(x,y)):}` - область интегрирования (тело, объём которого требуется найти в задаче). Представьте данный тройной интеграл через повторный. Для этого найдите ортогональную проекцию данного тела `T` на координатную плоскость `Oxy`. Пусть `D` - указанная проекция. Тогда `D:{(a<=x<=b),(g(x)<=y<=f(x)):}` Значит, если вы спроектируете область `D` на ось `Ox`, то получите отрезок `[a;b]`. Числа `a` и `b` будут являться соответственно нижним и верхним пределами интегрирования интеграла по `dx` в повторном интеграле. Потом смотрите на область `D` и определяете, графиками каких функций ограничена эта область снизу и сверху. Снизу - это график `y=g(x)`, сверху - график `y=f(x)`. Найденные функции `g(x)` и `f(x)` будут являться соответственно нижним и верхним пределами интегрирования в интеграле по `dy` внутри повторного интеграла. И теперь смотрите графиками каких функций ограничено снизу и сверху тело `T` нижний график - это `z=q(x,y)`, а верхний - `z=p(x,y)`.
Значит, `q(x,y)` и `p(x,y)` - это соответственно нижний и верхний пределы интегрирования в интеграле по `dz`.

[ellipsoid]

Вот моя картинка для Oxy (которую я уже выкладывал, только низ у неё дорисовал, ибо, как мы уже тут выяснили, что там целиковая окружность, а не полуокружность, как я рисовал вначале):

Тут же прямо так видно, что от -3 до 3 )
А насчёт dz я правильно хоть сказал?)

[Alisa_Selezneva]

ellipsoid , вы мне напишите (по моим обозначениям) чему равны: `a, b, g(x), f(x), q(x,y), p(x,y)`.

[ellipsoid]

`a=-3;`
`b=3;`

`g(x)=-sqrt(9-x^2);`
`f(x)=sqrt(9-x^2);`

`g(x,y)=0;`
`f(x,y)=(6-y)/2;`

[Alisa_Selezneva]

ellipsoid, всё верно! Теперь вычисляйте повторный интеграл, начните с самого внутреннего (тот, который ,берётся по переменной `z` ).

[ellipsoid]

`int_(-3)^(3) dx int_(-sqrt(9-x^2))^(sqrt(9-x^2)) dy int_(0)^((6-y)/2) dz` вот так?

[Alisa_Selezneva]

ellipsoid , да, всё правильно! Решайте дальше!

[ellipsoid]

Alisa_Selezneva, я пока до середины дорешал, проверьте пожалуйста, а то может где-то наврал)

[Alisa_Selezneva]

ellipsoid, я не поняла, как у вас получилась третья строчка снизу?

[ellipsoid]

Alisa_Selezneva, я в 4-й строчке снизу, в каждой скобке домножил на 4, чтобы от знаменателя избавиться. а потом просто раскрыл скобки...

[Alisa_Selezneva]

ellipsoid , просто так нельзя домножать на 4. Если домножил на 4, то будь добр сразу и подели на 4, чтоб получился равносильный переход.
А то, по-вашему, получается: было 50 руб., домножил на 4 получилось 200 руб. Значит, 50=200. Классная арифметика получается. Вот бы в жизни так было!
И ещё! Когда вы домножаете дробь `-(9-x^2)/4` на `4`, то почему у вас получается `-9-x^2`. Ммм?

[ellipsoid]

Да, вы правы!
А я сейчас подумал, что можно было вообще не домножать, т.е там `(9-x^2)/4` после раскрытия скобок всё равно "вычёркиваются"

[Alisa_Selezneva]

ellipsoid, ваш табличный интеграл (подчёркнутый красным) должен равняться совсем не тому выражению, что вы написали! Логарифмов там вообще не должно быть!

[ellipsoid]

А там `x^2-9` будет снова просмотрел)
Да!
Я снова не туда посмотрел) таблица большая и сплюснутая, смотрю на одну строку, а списываю другую)
вот невнимательность опасная штука)
Сейчас исправлю!