Целые числа и метод мат индукции

[Xedaler]

Доброй ночи, уважаемые завсегдатаи сообщества!

Попалась мне тут задачка, которая упорно отказывается решаться. Скорее всего она довольно простая, но этот раздел математики мне известен довольно поверхностно.

Необходимо`TZ` доказать, что равенство 3x + y^2 = 2 невозможно в случае, если х и у - целые числа.[[/TZ]]

Что я думаю по поводу решения:

1) Если х = 0, то равенство примет вид y^2 = 2. Целый корень из двух не извлечь, пока что все идет хорошо

2) Если х > 0, то:
y^2 = 2 - 3x. Подставив вместо х произвольное целое число больше нуля получаем, что с ростом х правая часть стремится к минус бесконечности, а из отрицательного числа корень не извлечь.

3) Вот тут начинается проблема. Осталось доказать, что неравенство невозможно при х < 0.
y^2 = 2 + 3x, т.к. х < 0. Методом подстановки я понял (впрочем, это и так чувствовалось), что целый корень тут не получить, но как это доказать математически?

ПС: был бы очень благодарен, если бы кто-нибудь посоветовал хороший учебник по темам Целые числа и Математическая индукция - необходимо самостоятельно разобраться в этих темах в кратчайшие сроки хотя бы на уровне 9 класса физмата (разумеется, некоторые, а возможно даже неплохие, знания математики уже есть ). Видел неподалеку ссылку на подборку из нескольких тысяч книг, но самому найти там нужное по заданным параметрам нереально, увы

С уважением,
Илья

@темы: Посоветуйте литературу!, Теория чисел

Comments

[Trotil]

А это обязательно индукцией решать?

[Xedaler]

Не обязательно, но решение не должно выходить за рамки школьной программы физмата. Просто мне показалось, что индукция все же связана с решением

[Диана Шипилова]

Проанализируйте, какие остатки может дать квадрат числа при делении на 3.

[_ТошА_]

3x + y^2 = 2
Перепишите, как:
x = (2 - y^2)/3

Рассмотрите остатки от деления на 3 у y^2

[Xedaler]

Остатком будет либо 1, либо 2

[Robot]

По индукции книжки здесь
Литература по подготовке к математическим олимпиадам (часть II)
По целым числам
Литература для подготовки к С6 ЕГЭ-2010,2011 по математике (теория чисел)
Там не несколько тысяч книг

[_ТошА_]

Когда 2 получается?

[Xedaler]

Хмм...

x = (2 - y^2) / 3

y = 1, тогда остаток от деления на три будет 1
у = 2, тогда остаток 2
у = 3, тогда остаток 1
у = 4, тогда остаток 2

То есть при четном у всегда будет остаток, равный двум, а при нечетном у будет остаток, равный 1.

Огромное спасибо, но тем не менее, как это записать математически? Или это и есть ответ?

Кстати, это кажется и есть метод индукции, ведь мы доказываем для базы (тут баз несколько) и проецируем результат на все множество?

[_ТошА_]

вы остаток числителя смотрите что ли?

Просто чтобы х был целым, необходимо и достаточно, чтобы y^2 давал остаток 2 при делении на 3.

Можно рассмотреть так называемый метод полной индукции. Будем представлять число в виде: 3*k + n, где 0<= n <=2, n,k - целые.
очевидно, таким образом мы переберём всевозможные целые числа.
Итак:
1) ] y = 3k => y^2 = 9k^2 - остаток 0
2) ] y = 3k+1 => y^2 = (3k+1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 - остаток 1
3) ] y = 3k+2 => y^2 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 - остаток 1

Вот видите, остатка 2 нет

[Xedaler]

Да, остаток числителя

Я не совсем понимаю, как х будет целым, если квадрат игрека деленный на три даст остаток, равный двум. Особенно при условии, что конкретно в моем примере двойка еще и приплюсовывается в конце

[_ТошА_]

x = (2 - y^2)/3 = 2/3 - y^2/3
Так понятнее? Остатки вычтутся. 2/3 уйдут, останется целая часть

[Xedaler]

Огромное спасибо всем участникам обсуждения, , а в особенности Тоше - разобрался в задаче)