Олимпиада по математике ( прошлогодняя в МЭСИ )

[FirstAID]

Олимпиада по математике 2010 ( прошлогодняя в МЭСИ )

Помогите пожалуйста справиться с некоторыми заданиями :
1) `TZ` Найдите три числа , каждое из которых равно 6-ой степени разности двух других [[/TZ]]
2) `TZ` Докажите , что в круге радиуса 9 можно разместить 270 точек так , чтобы попарные расстояния между ними было не меньше 1 . [[/TZ]]
3)`TZ` На плоскости задан отрезок длины 1 . Построить с помощью циркуля и линейки отрезок
длинны ` sqrt(2+sqrt(3)) `[[/TZ]]

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[Robot]

По правилам условие (не решение) выкладывается в текстовом формате, а формулы в формате скрипта

Пользовательский скрипт для отображения формул И Help по набору формул

Скрипт можете и не устанавливать, но формат набора формул использовать обязательно

Это необходимо для индексации и последующего поиска, а также во избежание исчезновения условий при удалении картинок с хостинга
=======
Рисунок надо обязательно прятать под тег more
Как прятать рисунок под MORE
(сейчас я спрячу)
===
Правила пункт 5
===
Исправьте сообщение

[VEk]

4. Используйте правильный шестиугольник, разделенный на 6 правильных треугольников
5. Представляете, как на клетчатой бумаге построить отрезки длиной `sqrt(2)` и `sqrt(3)`?
3. просто пример надо привести, или доказать что-либо?

[FirstAID]

VEk
3 Просто найти . Наугад пробовал , не получилось
4 спасибо попробую решить
5 спасибо попробую решить

[VEk]

minasyanvaagn Условие в текстовом виде наберите, пожалуйста.

[FirstAID]

VEk с шестиугольником не понятно . Зачем он тут вообще нужен ?

[VEk]

minasyanvaagn Вы знаете, скорее всего я не прав. Еще подумаю. Просто правильный треугольник из точек, расстояние между которыми равно 1 - оптимальная укладка, т.е. ззанимает наименьшую площадь. Посмотрите, например укладку 4, 9, 16 точек. А из таких треугольников хорошо складывается шестиугольник.
Пример в первой задаче построили?

[Robot]

Может быть попробовать систему концентрических окружностей с тем же центром и радиусами 1,2,...9
На первой окружности можно расположить 6 точек - в вершинах правильного шестиугольника, на второй 12 и т.д., на последней 54

[FirstAID]

А как-нибудь по проще , а то только слов незнакомы

[Гость]

Это Робот
Чего не знаете?
И я,кстати, сама не уверена

[VEk]

Все-таки надо строить правильный шестиугольник со стороной 10, в нем будет 6*45+10=280 точек с минимальным расстоянием между точками 1. Затем надо взять круг радиуса 9, в него не попадает 30 точек ( по 5 в вершине каждого угла), как-то так. Вот насчет оставшихся 20 точек пока не получается. Надо еще посмотреть

[VEk]

Все верно, просто считать разучился.
Рассмотрим правильный шестиугольник со стороной 9, в нем 6*45+1 =271 точка. 1 - центральная точка. Круг радиуса 9 с центром в центре шестиугольника содержит все указанные точки( но 6 из них лежат на границе, что может несколько не соответствовать условию). Можно добавить один ряд (10-й) и по теореме косинусов оценить, сколько точек из него попадает в круг радиуса 9 (это еще 5 точек, на сторону). Таким образом внутрь круга можно поместить 271-6+6*5=295 точек, попарные расстояния между которыми не меньше 1.
Приведенная укладка - самая плотная.

[FirstAID]

Спасибо , буду разбираться )) VEk

[FirstAID]

VEk
Есть некоторые вопросы :

Рассмотрим правильный шестиугольник со стороной 9, в нем 6*45+1 =271 точка.

Почему так ? Это площадь 6-угольника ? Если шестиугольник вписан в окружность , то там будет меньше чем 271 точка

[FirstAID]

VEk отрезки ` ( 2 +sqrt(3) ) `сделал . А как это под корень одеть ? С помощью пифа ? Тогда другие стороны это есть выражения , а квадрат двучлена даёт или 2sqrt(3) или 6sqrt(3) или sqrt(3) , а у нас sqrt(3) ((

[Robot]

По поводу отрезков
Я не знаю идеи VEka, но можно так:
`sqrt(2+sqrt(3))=sqrt((1+sqrt(3))^2/2)=(1+sqrt(3))/sqrt(2)=(sqrt(2)+sqrt(6))/2`

Если же уже построен `2+sqrt(3)`, то можно использовать свойство: высота в прямоугольном треугольнике, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное отрезков, на которые она гипотенузу делит (доказывается из подобия www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id...)
Отсюда следует, что квадрат высоты равен произведению этих отрезков.
Поэтому строим гипотенузу АВ, откладывая последовательно единичный отрезок АК и отрезок КВ длины `2+sqrt(3)`. Проводим окружность с диаметром АВ. Восстанавливаем перпендикуляр из точки К, который пересечет окружность в точке С
Угол АСВ прямой, так как вписанный и опирающийся на диаметр, КС - высота, поэтому `KC^2=1*(2+sqrt(3))`

[FirstAID]

Robot Спасибо . Буду разбираться.

[Robot]

Правильный шестиугольник можно разбить на 6 правильных треугольников с общей вершиной О. Сторона каждого равна 9
А каждый из этих треугольников можно разбить вот так на правильные треугольнички со стороной 1

[VEk]

Именно так, в таком треугольнике со стороной n ровно `(n(n+1))/2` точек. Посмотрите такой треугольник меньшего размера, например со стороной 3 ( его можно прорисовать весь). Отрезок длины 3 содержит 4 точки, поэтому в таком треугольнике 10 точек. Но когда мы составляем шестиугольник, то сторона из 4 точек присутствует в каждом треугольнике, а над ней надстраивается треугольник со стороной на 1 меньше, (треугольник со стороной 2, три точки - всего 6 точек). Эти треугольники с меньшей стороной можно просто прикладывать друг к другу, при этом с центральной точкой все время замыкающая сторона будет иметь 4 точки. в результате последний 6-й треугольник , на стороне которого будет 3 точки разместит эти точки на месте уже имеющихся 4-х точек первого треугольника. Поэтому всего будет 6*6+1=37 точек (центральная точка ставится один раз (при первом треугольнике)

[FirstAID]

VEk Не понимаю ((
1 ) Почему в таком треугольнике ` n*(n+1)/2 ` точек ?
2 ) Если брать площадь окружности с радиусом 9 , то там будет меньше 271 точки

[VEk]

minasyanvaagn Просто посчитайте точки. В первом ряду n точек, во втором - (n-1), ... в последнем ряду 1 точка. Сколько всего?
Числа 1, 1, 0 (для 6-х степеней)