Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка и построить ее в декартовой системе координат.
4xy+4x-4y+4=0
Вот мая задача.
я её решил. но помогите построить ее в декартовой системе координат.
заранее спасибо.
Левая часть уравнения 4ху + 4х – 4у + 4 = 0 представляет собой квадратичную фор-му с матрицей .
Решаем характеристическое уравнение
т.е. .
λ2 – 4 = 0;
λ1 = –2, λ2 = 2 – характеристические числа.
Находим собственные векторы из системы уравнений .
Полагая λ = λ1 = –2, получаем систему уравнений для первого вектора :
х2 = –х1.
Пусть х1 = 1, тогда х2 = 1 и – собственный вектор, соответствующий λ1 = –2.
Полагая λ = λ2 = 2, получаем систему уравнений для второго вектора :
х1 = х2.
Пусть х2 = 1, тогда х1 = 1 и – собственный вектор, соответствующий λ2 = 2.
Нормируем собственные векторы , получаем , . Составляем матрицу перехода от старого базиса к новому , в которой координаты нормированных собственных векторов записаны по столбцам. Выполняя преобразование
или
Найденные для х и у выражения подставим в исходное уравнение кривой:
4ху + 4х – 4у + 4 = 0
4 • (х′ + у′
• (–х′ + у′ + 4 • (х′ + у′ – 4 • (–х′ + у′ + 4 = 0;
2 (у′2 – х′2) + 2 (х′ + у′ – 2 (у′ – х′ + 4 = 0;
2у′2 – 2х′2 + 2 х′ + 2 у′ – 2 у′ + 2 х′ + 4 = 0;
2у′2 – 2х′2 + 4 х′ + 4 = 0;
2у′2 – 2х′2 + 2 • 2 х′ + 4 = 0;
2у′2 – 2(х′2 – 2 х′ + 4 = 0;
2у′2 – 2(х′2 – 2 х′ + 2 – 2) + 4 = 0;
2у′2 – 2(х′2 – 2 х′ + 2) + 8 = 0;
–2у′2 + 2(х′ – )2 – 8 = 0;
–2у′2 + 2(х′ – )2 = 8;
– каноническое уравнение гиперболы.
4xy+4x-4y+4=0
Вот мая задача.
я её решил. но помогите построить ее в декартовой системе координат.
заранее спасибо.
Левая часть уравнения 4ху + 4х – 4у + 4 = 0 представляет собой квадратичную фор-му с матрицей .
Решаем характеристическое уравнение
т.е. .
λ2 – 4 = 0;
λ1 = –2, λ2 = 2 – характеристические числа.
Находим собственные векторы из системы уравнений .
Полагая λ = λ1 = –2, получаем систему уравнений для первого вектора :
х2 = –х1.
Пусть х1 = 1, тогда х2 = 1 и – собственный вектор, соответствующий λ1 = –2.
Полагая λ = λ2 = 2, получаем систему уравнений для второго вектора :
х1 = х2.
Пусть х2 = 1, тогда х1 = 1 и – собственный вектор, соответствующий λ2 = 2.
Нормируем собственные векторы , получаем , . Составляем матрицу перехода от старого базиса к новому , в которой координаты нормированных собственных векторов записаны по столбцам. Выполняя преобразование
или
Найденные для х и у выражения подставим в исходное уравнение кривой:
4ху + 4х – 4у + 4 = 0
4 • (х′ + у′
• (–х′ + у′ + 4 • (х′ + у′ – 4 • (–х′ + у′ + 4 = 0;2 (у′2 – х′2) + 2 (х′ + у′
– 2 (у′ – х′ + 4 = 0;2у′2 – 2х′2 + 2 х′ + 2 у′ – 2 у′ + 2 х′ + 4 = 0;
2у′2 – 2х′2 + 4 х′ + 4 = 0;
2у′2 – 2х′2 + 2 • 2 х′ + 4 = 0;
2у′2 – 2(х′2 – 2 х′
+ 4 = 0;2у′2 – 2(х′2 – 2 х′ + 2 – 2) + 4 = 0;
2у′2 – 2(х′2 – 2 х′ + 2) + 8 = 0;
–2у′2 + 2(х′ – )2 – 8 = 0;
–2у′2 + 2(х′ – )2 = 8;
– каноническое уравнение гиперболы.
-
-
03.02.2011 в 14:55но может кто нибудь поможет...
-
-
03.02.2011 в 16:03`1/sqrt(2)(1;1)`
`1/sqrt(2)(-1;1)`
sqrt корень квадратный
^2 в квадрате