Анализ функции(вопрос с пределом функции)

[mik9751]

задание построить график функции:
`y=x*e^((-x)^(2))`

1) нахожу область определения` D(f)= R`
вопрос первый
почему это означает что график симметричен относительно начала координат?
и когда он не симметричен. торможу

2)нахожу что `f(-x)= - f(x)` значит функция нечетная график симметричен относительно ОУ и строим функция на отрезке `[0,+oo)` а потом симметричено его отражаем.

3)находим асимптоты:

`lim_(x->oo)(x*e^(-x^2))`
я решил предел так:
`lim_(x->oo)ln(x*e^(-x^2))=lny`
`lim_(x->oo)(ln(x*e^(-x^2)))'=(y')/y`
`((ln(x))')/((ln(e^(x^2)))')`
`(1/x)/(1/((e^(x^2))*2x))`
`1/x:1/((e^(x^2))*2*x)`
`((e^(x^2))*2*x)/(x) = e^(x^2)*2`
`(y')/y = e^(x^2)*2`
`(y') = y*(e^(x^2)*2)`
`y' = (x*e^((-x)^(2)))*(e^(x^2)*2)`
`y' = (x)*(e^(x^2)*2)/(e^((x)^(2))) = 2*x`
Значит предел равен`OO`

вероятно я где то ошибся так как в решении ином совершенно иной ответ:


откуда там получилось: `1/(2x*e^(x^2))`?

@темы: Исследование функций

Comments

В данной в задаче функции в показателе ведь не должно быть скобок?

почему это означает что график симметричен относительно начала координат?

Из области определения это еще не вытекает. Это выясняется при исследовании четности функции.
Вот Вы определили, что f(-x)=-f(x). А еще область ее определения есть симметричное относительно 0 множество.
На основании этих двух высказываний делается вывод, что функция нечетна, т.е. ее график симметричен относительно начала координат.

откуда там получилось

было использовано правило Лопиталя — взяли производную у числителя и у знаменателя.

вероятно я где то ошибся

с каких пор `ln(a/b)=(ln a)/(ln b)`? Вы как-то смутно находите производную чего-то... Вы еще не забыли, что `(f/g)' != (f')/(g')`? А также неверно вычислена производная сложной функции, которая у Вас вышла в знаменателе... в Вашем знаменателе вообще можно вынести степень, тогда останется `x^2*ln e=x^2`.
И зачем нужно было с самого начала логарифмировать? Разве от этого легче?

И, пожалуйста, прячьте решения под тег MORE.

[mik9751]

_nobody
да действительно скобок там нет
вот такое правило в учебнике нарыл:
f(-x)=-f(x) нечетная функция график симметричен относительно начала координат, как я понял симметрична относительно точки О
f(-x)= f(x) четная функция симметрична относительно оси ОУ



производную я решить не могу, вообще не понимаю как ...
1) взять производную от функции?
2) прологарифмировать полученную функцию и еще раз взять от неё производную? О__о
не поняимаю как можно логарифмировать не с самого начала...

у меня упорно получается:
1) не логарифмирую
беру производную
`y'=(x*e^(-x^2))'=e^(-x^2)+x*(e^(-x^2))*(-2x)=e^(-x^2)*(1-2x))=(1-2x)/(e^(x^2))`


2)логарифмирую
`ln((x*e^(-x^2)))=(1*(e^(-x^2)-2*x*(e^(-x^2))))/((x*e^(-x^2)))=(1-2x)/x`
`y'=(y*(1-2x)/x)=(x*e^(-x^2))*(1-2x)/x)=((e^(-x^2))*(1-2x))=(1-2x)/(e^(x^2)))`

полное уныние(

вот такое правило в учебнике нарыл:

Это как бы краткий вариант правила. Сами подумайте, если, например, функция определена в одной полуплоскости (т.е. при x>0), а при `x<0` она неопределена, то она никак не может быть четной или нечетной. Поэтому еще и рассматривают область определения — множество, где для любого положительного (отрицательного) элемента существует противоположный по знаку элемент — это есть симметричность области определения (например, множество `(-oo, -10) uu (-5,-3] uu {0} uu [3,5) uu (10,+oo))` является симметричным, т.к. соблюдается выше сказанное условие симметричности.

как я понял симметрична относительно точки О

Правильно поняли.

не поняимаю как можно логарифмировать не с самого начала...

Зачем вообще логарифмировать? Какой от этого толк? Степень от этого не убежит, если только не раскладывать по свойствам логарифмов в сумму... Зачем так заморачиваться? -) Правило Лопиталя тут прекрасно подходит.
Зачем брать производную от такой функции? Откуда вообще этот алгоритм?

[mik9751]

То есть, так как функция симметрична относительно О и.. х определен на всем числовом промежутке то функция симметрична относительно ОУ?

я просто не допонимаю что значит четность и нечетность?

Правило Лопиталя тут прекрасно подходит.

всё.. большое спасибо я очень туплю. Взял лопиталя. решил. и все получилось.)

То есть, так как функция симметрична относительно О и.. х определен на всем числовом промежутке то функция симметрична относительно ОУ?

Нет, симметричность графика вытекает из того, что функция четная/нечетная.
Четность — это значит, является ли функция четной, нечетной или вообще никакой не является.
Функция называется четной, если
1) область определения есть симметричное множество относительно нуля
2) `f(-x)=f(x)`
Функция называется нечетной, если
1) область определения есть симметричное множество относительно нуля
2) `f(-x)=-f(x)`
Если функция не удовлетворяет этим определениям, то она является ни четной, ни нечетной.

[mik9751]

Большое спасибо, теперь понятно)

[Гость]

дана функция e^(-1/x) . нужно провести полное исследование функции и построить график. функция является нечетной и непереодичной.нашла производные. не могу сообразить как найти асимптоты и точки перегиба. помогите разобраться пож-та

[Robot]

Гость, это чужой топик.
Чтобы получить консультацию именно по Вашей задаче надо зарегистрироваться, вступить в сообщество (левый столбец меню) и создать свой топик (левый столбец меню - Написать в сообщество)
Инструкции
Обращение к Гостям