Метод Гаусса

[люблю_Россию]

x+5x-3x+x=6
-2x-x+0+2x=-3
Как решить?
Вот здесь решает integraloff.net/gauss/obrabotkaMGauss.php , но без нее я буду час минимум сам решать. Может есть другие варианты решения?

@темы: Матрицы

Comments

[Heor]

Эм. Я что-то не понял. У Вас два уравнения с одной переменной. В чем проблема?

diary@css,#000000,#89f11a,#000000,#7e2d1c,#615347,#615347,transparent,#000000,url("http://s58.radikal.ru/i162/1101/0f/dac810995fab.jpg")  !important;  background-repeat:no-repeat !important;  background-attachment:fixed

[люблю_Россию]

надо все сводить к нулям? или есть какой-то другой способ, просто когда свожу к 0, очень долго, не факт что еще правильно , без вычислительных ошибок решу

люблю_Россию, у Вас в каждом уравнении системы (?) только один икс используется или разные (с нижними индексами)?

[люблю_Россию]

kvm.gubkin.ru/pub/vvk/tip1sem.pdf
вот здесь, номер 6

Да, с индексами.

Корректно в формате скрипта система записывается так:
`{(x_1+5x_2-3x_3+x_4=6),(-2x_1-x_2+2x_4=-3):}`

[люблю_Россию]

Извиняюсь, думал разберетесь (
Так как? Все к 0 подгонять или есть другие способы?

Запишите данную систему в матричном виде. Запишите расширенную матрицу систему, а затем ее преобразуйте один раз так, чтобы в первом столбце второй строки был нуль. Разве это очень много действий? Всего лишь одно.

Затем запишите решение системы, приняв какие-нибудь иксы за параметры.

Что в ответе надо получить-то?

[люблю_Россию]

Программа решила так
1 5 -3 1 6
0 9 -6 4 9

1 5 -3 1 6
0 9 -6 4 9
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0

1 5 -3 1 6
0 1 -0.66666666666667 0.44444444444444 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0


1 0 0.33333333333333 -1.2222222222222 1
0 1 -0.66666666666667 0.44444444444444 1
3 0 1 -3.6666666666667 3
0 0 0 0 0


0 0 0 0 0
2 1 0 -2 3
3 0 1 -3.6666666666667 3
0 0 0 0 0


0 0 0 0 0
2 1 0 -2 3
3 0 1 -3.6666666666667 3
-1 -0.5 -0 1 -1.5


0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
3 0 1 -3.6666666666667 3
-1 -0.5 -0 1 -1.5

0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
-0.66666666666667 -1.8333333333333 1 0 -2.5
-1 -0.5 -0 1 -1.5

ответы 0, 0, -2,5 , -1,5

[люблю_Россию]

1 5 -3 1 6
0 9 -6 4 9
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0

Подбором что ли дальше?

Каким еще подбором? У Вас в матрице только две строки, а не четыре, забудьте о программе. Теперь запишите получившуюся расширенную матрицу опять в виде системы. ИЗ последнего уравнения выразите любой икс, а остальные иксы из того же уравнения примите за какие-нибудь параметры (например, `c_1, c_2`). А затем подставляете полученный икс в первое уравнение и выражаете оставшийся икс через другие иксы-параметры.

Что Вам в ответе получить надо?

P.S. Если Вы не заметили, система имеет бесконечное множество решений, поэтому используются параметры, которые могут принимать произвольные значения.

[люблю_Россию]

3x_3=4,5x_2+2x_4-4,5 Выразил, теперь получается
`{(x_1+9,5x_2-x_4),(3x_3=4,5x_2+2x_4-4,5):}`
Как дальше понять не могу, опять выражать?

[люблю_Россию]

3x_3=4,5x_2+2x_4-4,5 Выразил, теперь получается
`{(x_1+9,5x_2-x_4),(3x_3=4,5x_2+2x_4-4,5):}`
Как дальше понять не могу, опять выражать?

`x_3` выразите полностью, поделив обе части на тройку. Вместо `x_2` и `x_4` лучше написать, к примеру, `c_2, c_4`, чтобы не запутаться, где неизвестные, а где параметры. Затем подставляете полученный `x_3` в первое уравнение системы (не забывая, что и там `x_2=c_2`, `x_4=c_4`) и приводите подобные, в итоге получаете `x_1`. Вот и все. `c_2, c_4 ` могут принимать абсолютно любые значения.

Еще почитайте Соболь Б.В., Мишняков Н.Т., Поркшеян В.М. Практикум по высшей математике.
mathhelp.ifolder.ru/20031328
страницы 213-218

Там разбираются разные системы с помощью метода Гаусса.

Главное, не путать зависимые переменные от независимых (последние были обозначены у меня как `c_2,c_4`, чтобы явно отличались от зависимых).

[люблю_Россию]

Запутался...
Получил
x_1=-10,5x_2-x_4+13,5
x_1=13,5 как я понял, тогда x_3=2,5
во втором уравнение тогда неправильно(

[люблю_Россию]

Фух, слава Богу решил, спасибо большое!!!

matri-tri-ca.narod.ru/slu.html
Вот хороший онлайн решатель для проверки (только внимательно смотреть, какие иксы там берутся за параметры, т.к. Ваш выбор независимых переменных может отличать от выбора калькулятора). Лишние строки просто заполняются нулями.

[люблю_Россию]

я без параметра решал, просто подстановкой, приняв х2 и х4 за 0. Так же можно?

Ну, если Вы делаете такую подстановку, то Вы теряете бесконечное число решений, оставляя только одно.
А ведь обычно надо все решения написать, а не какое-то частное.
Например, при решении тригонометрического уравнения `cos x=1/2` Вы же в общем случае не пишите `x=pi/3`, а пишите `x=+-pi/3+2pin, n in ZZ`, т.е. пишите серию корней, их бесконечное множество. Или еще пример: `x^2=1`. Решением последнего уравнения будут два икса: `x=+-1`, а не один `x=1`. Если напишем только один, то в общем случае это будет ошибкой.
Так же и тут.

[люблю_Россию]

Блин, и как же быть? я просто с параметром не понял как...

Смотрите, после приведения матрицы к трапециевидному виду самой короткой строчкой остается последняя ненулевая.
В нашем случае там три икса `x_2, x_3, x_4`. Мы выбираем любой из этих иксов и говорим ему: `x_2` (можно и другой икс взять) — ты будешь зависимой переменной! я так сказал! А остальные мы называем независимыми и чтобы их не путать заменяем на другие буковки, которые назовем параметрами (параметрами можно называть и сами независимые переменные, по сути они ими и являются), так вот заменяем на буковки: `c_3=x_3, c_4=x_4`.
И теперь выражаем нашу зависимую переменные через независимые из последнего уравнения системы (полученная после Гауссовских преобразований).
В первом уравнении системы `x_3, x_4` все те же независимые переменные, т.е. параметры, которые мы заменили на буковки `c_3, c_4`. В первое уравнение вместо `x_2` подставляем то, что получили во втором уравнении, затем приводим подобные слагаемые, получаем `x_1`, который выражен через параметры `c_3, c_4`. Параметры могут принимать абсолютно любые значения. Вот и решение системы.

В книге, данной выше, примеры приведены, только там не заменяют на новые буковки (замена делается лишь для того, чтобы не запутаться).

[люблю_Россию]

Спасибо огромное, последний пример сильно помог, сейчас подобно решу и проверю