Комплексные числа, аналитическая и гармоническая функция

[~Совенок~]

Контрольная работа. Вуз. Желательно до вторника решить.

Мне нужна подсказка в какую сторону думать дальше и проверка правильности решения

1.Найти значение параметра a, при котором данная функция является гармонической, и найти аналитическую функцию f (z), удовлетворяющую условию f (z0) = w0, действительной u(x, y) или мнимой v(x, y) частью которой является данная функция

u(x, y) = e^(−2x) * cosay+y; f (0) = 1+2i вопрос открыт

Для начала находим

du/dx=-2*e^(−2x) * cosay

du/dy=-a*e^(−2x) *sinay+1

По условию Коши-Римана:

dv/dy=du/dx=-2*e^(−2x) * cosay

dv/dx=-du/dy=a*e^(−2x) *sinay-1

А вот дальше нужно проинтегрировать a*e^(−2x) *sinay-1 по dx, не получается это сделать, не получается найти v. Или тут нужно подставить параметр а? И как найти v?

 

Для нахождения параметра а, при котором данная функция является гармонической воспользуемся формулой Лаппласиана:

d^2*u/d*x^2=4*e^(−2x) * cosay

d^2*u/d*y^2=-a^2*e^(−2x) *cosay

 

d^2*u/d*x+d^2*u/d*y^2=0, то есть

4*e^(−2x) * cosay =a^2*e^(−2x) *cosay

a=2

 

2. Определить множества всех точек, удовлетворяющих данным соотношениям, и построить их на комплексной плоскости.
|1+z| > |1−z| вопрос решен
Возведем обе части в квадрат и подставим z=x+iy
(1+x)^2+y^2>(1+x)^2-y^2

1+2x+x^2+y^2>1+2x+x^2-y^2

2y^2>0
y > 0
И что это значит?

@темы: Комплексные числа, ТФКП

Comments

[VEk]

2/ Вы очень оригинально возводите в квадрат модуль правой части. там ошибка

[~Совенок~]

А где именно ошибка?
получается если z=x+iy, то 1+z=(1+x)+iy, или не так?

[VEk]

То, что Вы привели - это левая часть неравенства. А речь шла о правой части этого неравенства.

[~Совенок~]

т.к. -z=x-iy, то 1-z=(1+x)-iy или получится (1-x)-iy?

[VEk]

-z=x-iy, то 1-z=(1+x)-iy

Почему `x`, а не `-x`?

[~Совенок~]

Спасибо. Почему-то подумалось что -z это определяется именно по этой формуле или скорее хотелось чтобы так было. да ошиблась, тогда

(1+x)^2+y^2>(1-x)^2-y^2

1+2x+x^2+y^2>1-2x+x^2-y^2

4x+2y^2>0

x>-2y^2 / 4
а какие дальше выводы можно сделать?

[VEk]

А почему `-y^2`? Это новый вариант возведения в квадрат?
Должно получится `x>0`. Значит данному неравенству удовлетворяют все точки правой полуплоскости. С геометрической точки зрения для любой точки в правой полуплоскости ( `x > 0`) расстояние до точки (-1;0) больше расстояния до точки ( 1;0).

[~Совенок~]

4x+2y^2>0, но отсюда же не получается x>0, а y^2 не сокращается

[VEk]

Прочитайте внимательно первую строку предыдущего комментария

[~Совенок~]

Все, полностью дошло, спасибо, очень помогли. А с первым заданием?

[VEk]

К сожалению, удаляюсь из сети. Подождите кого -либо другого.

[~Совенок~]

Спасибо, Вам!

[true-devil]

А вот дальше нужно проинтегрировать a*e^(−2x) *sinay-1 по dx, не получается это сделать, не получается найти v

И почему не получается? Экспоненту интегрировать умеете? А du/dx проинтегрировали по y?

Для нахождения параметра а, при котором данная функция является гармонической воспользуемся формулой Лаппласиана:

А вот это совершенно лишнее. Аналитическая функция имеет гармонические вещественную и мнимую части просто в силу условий Коши - Римана. Так что ничего кроме поиска мнимой части из условий Коши - Римана делать не нужно.

[~Совенок~]

А разве если найти сначала параметр а, а потом искать мнимую часть, это не будет верно?

[true-devil]

Смысл искать а из вторых производных, если оно однозначно определяется из условий Коши - Римана? Ну, раз уж Вам так больше нравится...

Фраза «из второго из этих уравнений ...» заканчивается словами «... + ф(x), где ф(y) - ...». Замените на ф(y).

Остальное - верно.

[~Совенок~]

Мне так было легче) Спасибо)