Математика 2011. 11 класс. 1 тур. Обсудим?

[logarithm]

Олимпиада закончилась.
Предлагаю вашему вниманию задания для 11 класса
Математика 2011. 11 класс. 1 тур.
1. Найти наименьшее `n` такое, что уравнение `tg(tg(... (tg(x)) . ..)) =2011` (в уравнении `n` тангенсов) имеет бесконечное число решений на отрезке `[0;pi/3]`.
2. Найти двузначное число, такое что его квадрат равен кубу суммы его цифр.
3. Различные целые числа `m` и `n` таковы, что числа `(1/m)-3` и `(1/n)-3` являются корнями квадратного уравнения `x^2+ax+b` с целыми коэффициентами. Найти `a+b`.
4. Найдите а) числитель б) знаменатель числа
`1/(1*5)+1/(3*7)+1/(5*9)+1/(7*11)+...+1/(45*49)+1/(47*51)`,
записанного в виде несократимой дроби.
5. Рассмотрим на координатной плоскости точки Р= (-2. -2),Q = (0;-4), D = (4;0) и Е = (2,-4). Найти максимальную площадь треугольника `ABC`. такого что А = (0;2). точка В лежит па отрезке PQ. а точка С на отрезке DE.
6. Найти площадь поверхности тела, полученного пересечением двух прямых круговых цилиндров единичного радиуса, оси которых пересекаются под прямым углом.
7. Сколькими способами можно раскрасить грани куба в черный и белый цвета (каждую грань в один цвет, и оба цвета должны быть использованы)? Раскраски считаются одинаковыми, если одну можно получить из другой, повертев куб в руках.
8. Какое наибольшее число решений может иметь уравнение
`2x^2-64x+540=x^2sin(x+phi)` при всевозможных значениях `phi`?
9. "Цифровое домино"' представляет собой набор одинаковых прямоугольников размером 2x1. разделенных на два одинаковых квадрата, причем в каждом из этих двух квадратов написана какая-нибудь цифра от 0 до 9. Известно, что для любых двух разных цифр имеется ровно одна доминошка, на которой написаны эти цифры, и ни на одной доминошке не написаны две одинаковые цифры. Доминошки выкладывают в ряд. следуя обычным правилам игры в домино: в примыкающих друг к другу квадратиках двух соседних доминошек должны быть написаны одинаковые цифры. Из какого наибольшего числа доминошек может состоять такой ряд?
10. Концерт начался между 6 и 7 вечера, а закончился между 9 и 10 вечера. Известно, что часовая и минутная стрелки за время концерта в точности поменялись местами (стрелки часов движутся непрерывно). Сколько полных минут длился концерт? вниманию обсудить задания сей олимпиады.

задания

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[mpl]

Олимпиада проводится в два этапа:

первый (отборочный) этап - в очной и заочной формах, с 17 по 30 января 2011 г;
второй (заключительный) этап - в очной форме, 12 и 13 марта 2011 г.

Вы выкладываете задания какой олимпиады?

[logarithm]

первый (отборочный) этап - в очной и заочной формах
он окончен сегодня ровно в 15:00
достоверность
olymp.hse.ru:8080/or/hse/Main?view=Table&type=1...
olymp.hse.ru:8080/or/hse/Main?view=Questions&ty...
математика (математика)

[mpl]

Хорошо, обсуждайте.

[Robot]

Я выложила выше задания олимпиады по всем классам, можно сразу перенести в формате скрипта сюда за 11 класс.
UPD Перенесла

[logarithm]

Robot , спачибо огромное. Позволите, я начну публиковать свои идеи и вопросы?

[Robot]

Да, конечно.

[logarithm]

Самый большой интерес у меня вызывает задание 6.
Вот как выглядит это тело :


Анимация, чтобы посмотреть на него:


Мне интересны любые идеи решения.
Если, кому-нибудь интересно выложу решения большей части задания, позже. =]

[Garryncha]

А это задания очного или заочного тура?
Просто странно в заочном туре давать задание 4, мне кажется: набрал всё это в каком-нибудь MatLab, он посчитал и сократил, а ты написал ответ. Ну и решение типа: я много раз приводил к общему знаменателю, вот первые пара шагов, а дальше по аналогии, опустим.

[logarithm]

Garryncha , я вас удивлю, но решение, собственно не требовалось. Требовалось лишь ввести ответ. Думайте над 6 задачей =]

[Гость]

Ответ в задаче № 6 Площадь поверхности тела равна 8. Так?

[logarithm]

Гость , рассказывайте как посчитали?

[Гость]

А ответ правильный?

[Garryncha]

Решение 9 задачи

Сколько всего будет доминошек? Их будет 9 штук с первой цифрой 0, ещё 8 штук с первой цифрой 1 и т.д., т.е. 9 + 8 + ... + 1 = 45.
Сделаем граф с вершинами, обозначенными 0, 1, ... , 9, в нём каждая вершина соединена с каждой ровно одним ребром, петель нет. Требуемая цепочка доминошек будет какой-то цепочкой рёбер графа. Все вершины графа имеют степень 9. Если цепочка проходит через вершину и не терминируется в ней, то она и выходит из вершины, т.е. у каждой вершины, кроме двух, будет как минимум одно инцидентное ей ребро не задействовано в цепочке. Т.е. минимум 4 ребра будут не задействованы в цепочке, т.е. её длина (и длина уже цепочки из доминошек) будет максимум 41. Можно сделать разные цепочки такой длины, сделаем одну.
Сделаем такую цепочку рёбер, которая начинается в 0 и заканчивается в 5 (произвольно выбираем цифры).
И сделаем её так, чтобы незадействованы оказались рёбра 91, 82, 73, 64.
Пример такой цепочки: 01-12-20-03-31-14-40-05-51-16-60-07-71-18-80-09-92-23-34-42-25-53-36-62-27-75-58-84-49-93-38-87-74-45-56-67-79-96-68-89-95.
Т.е. ответ 41.

[logarithm]

Это просто к сведению, кто-то резво балуется.
Цитата с сайта межрегион. олимпиады
"23/01/2011::Атака на сервер олимпиад



Уважаемые участники олимпиады!

23 января 2011 года в 8:55 (по московскому времени) была совершена DDos-атака на сервер Межрегиональной олимпиады ГУ-ВШЭ и других вузов.

По данной причине возникали технические проблемы с доступом на сайт олимпиады. К 10:30 (по московскому времени) все проблемы были решены. К сожалению, еще некоторое время были заблокированы IP-адреса некоторых провайдеров (по ним работы велась в индивидуальном порядке).

Было принято решение увеличить время прохождения состязаний:

* математика (математика) 11 класс - +120 минут;
* математика (математика) 10 класс - +60 минут;
* иностранные языки** 10-11 класс - +30 минут.

Приносим свои извинения. Мы приложили максимум усилий для решения возникших проблем в кратчайшие сроки."

[Garryncha]

И вообще в задаче 6 условие неточно сформулировано. Представим себе, что один цилиндр лежит горизонтально, второй стоит вертикально. Будем двигать вертикальный цилиндр взад-вперёд по горизонтальной оси, чтобы он оставался в пересечении с горизонтальным. Все условия задачи будут соблюдаться, а площать поверхности тела, образованного их пересечением будет меняться, по крайней мере, визуально так кажется.

[Alisa_Selezneva]

Garryncha, так в условии задачи № 6 сказано, что оси цилиндров пересекаются под прямым углом.

[Garryncha]

Alisa_Selezneva, дак они и будут пересекаться. Ну, поставил я их так, чтобы они пересеклись (пусть даже внутри одного цилиндра, хотя об этом не сказано). А потом вертикальный начал двигать вдоль оси горизонтального к краю горизонтального — как это на пересечении осей скажется?

[Alisa_Selezneva]

Garryncha, ааа ... поняла о чём вы ...

[FirstAID]

Garryncha

Сделаем граф с вершинами, обозначенными 0, 1, ... , 9, в нём каждая вершина соединена с каждой ровно одним ребром, петель нет.

тоесть 10-угольник чтоли ?

[FirstAID]

Garryncha Не понял ваше решение :
1"""" Сделаем граф с вершинами, обозначенными 0, 1, ... , 9,""" тоесть отметим 10 точек на плоскости (включая ноль )
2 """"в нём каждая вершина соединена с каждой ровно одним ребром, петель нет.""""" тоесть проведём диагонали
а дальше не разобрался

Требуемая цепочка доминошек будет какой-то цепочкой рёбер графа. Все вершины графа имеют степень 9. Если цепочка проходит через вершину и не терминируется в ней, то она и выходит из вершины, т.е. у каждой вершины, кроме двух, будет как минимум одно инцидентное ей ребро не задействовано в цепочке. Т.е. минимум 4 ребра будут не задействованы в цепочке, т.е. её длина (и длина уже цепочки из доминошек) будет максимум 41. Можно сделать разные цепочки такой длины, сделаем одну. Сделаем такую цепочку рёбер, которая начинается в 0 и заканчивается в 5 (произвольно выбираем цифры). И сделаем её так, чтобы незадействованы оказались рёбра 91, 82, 73, 64. Пример такой цепочки: 01-12-20-03-31-14-40-05-51-16-60-07-71-18-80-09-92-23-34-42-25-53-36-62-27-75-58-84-49-93-38-87-74-45-56-67-79-96-68-89-95. Т.е. ответ 41.

[Garryncha]

minasyanvaagn, да, можно считать, что это 10-угольник такой.
А что дальше не понятно?

[Alisa_Selezneva]

Если в задаче № 6 цилиндры расположены так, как на рисунке у logarithm, то ответ будет 16.

[logarithm]

Alisa_Selezneva , как посчитали?

[Alisa_Selezneva]

План решения задачи № 6.

1) Линии пересечения данных цилиндрических поверхностей являются плоскими (этими линиями являются эллипсы).
2) В силу симметрии поверхность данного тела состоит из четырёх равных фигур. Развёрткой каждой из них на плоскости является фигура, ограниченная двумя синусоидами `y=sinx` и `y=-sinx`, `x in [0;pi]`. Площадь этой фигуры равна 4. Следовательно, площадь поверхности данного тела равна 16.

[s_tat]

Да,16 через двойной интеграл

[logarithm]

Alisa_Selezneva , эво как.
А как интересно вы установили что развертка ограничена данными функциями? Почему вы так решили?

[Alisa_Selezneva]

logarithm
Alisa_Selezneva , эво как.
А как интересно вы установили что развертка ограничена данными функциями? Почему вы так решили?
Я это доказала!

[logarithm]

А не могли бы поделиться доказательством, мне просто жутко интересно. =]

[Alisa_Selezneva]

logarithm, сейчас у меня нет времени. Потом могу выложить полное решение, если нужно.

[logarithm]

Alisa_Selezneva , конечно. Если найдёте минутку, то рад буду разобраться.
Кстати, я построил в GeoGebra 4 данные развёртки и склеил их - действительно получилось данное тело! =]