Разбор решений олимпиады 2011 Высшей школы экономики (10 класс)

[FirstAID]

Сразу заверю , что олимпиада уже прошла . Кто не верит пусть проверит olymp.hse.ru/or/hse/Main?view=Table&type=10clas... . Сегодня была олимпиада математика( математика)
Задания :
1)В треугольнике АВС провели серединный перпендикуляр к стороне АВ . Он пересекается со стороной ВС в точке М . Найти (в градусах) угол ВАС , если АС=1 , ВМ=2 и угол МАС = 60 градусов
2)На плоскости нарисован правильный 90-угольник, каждая вершина которого раскрашена в какой-нибудь цвет. Известно, что при повороте на 16 градусов относительно центра многоугольника каждая его вершина переходит в вершину того же цвета. Найдите максимальное возможное число различных цветов вершин.
3)Различные целые числа m и n таковы, что числа (1/m)-4 и (1/n)-4 являются корнями квадратного уравнения x^2+ax+b с целыми коэффициентами. Найти b.
4)аНайдите числитель числа 1/(1*5) +1/(3*7) + 1/(5*9) +1/(7*11) +.....................+ 1/(45*49) +1/(47*51) записанного в виде несократимой дроби.
4)бНайдите знаменатель числа 1/(1*5) +1/(3*7) + 1/(5*9) +1/(7*11) +.....................+ 1/(45*49) +1/(47*51) записанного в виде несократимой дроби.
5)Часы идут правильно, но на месте минутной стрелки находится часовая, а на месте часовой — минутная. Сколько раз в сутки они показывают правильное время?
6)На земле лежит труба длиной 60 м, в трубе сидят 12 мышей. Диаметр трубы достаточно велик для того, чтобы каждая мышь могла свободно бежать вдоль нее, но недостаточно велик для того, чтобы две мыши, бегущие во встречных направлениях, могли разминуться. По сигналу все мыши одновременно начинают бежать по направлению к выходу с постоянной скоростью 0,5 м/c (при этом разные мыши могут бежать к разным концам трубы). Всякий раз, когда мышь сталкивается с другой мышью, бегущей ей навстречу, она мгновенно разворачивается и бежит с той же скоростью в обратном направлении. Через сколько минут все мыши гарантированно выберутся из трубы? (Размерами мышей пренебречь.)
7)Рассмотрим все диагонали в правильном десятиугольнике. Сколько пар таких диагоналей пересекаются внутри десятиугольника?
8)Для нумерации страниц книги потребовалось в три раза больше цифр, чем страниц в книге. Сколько было страниц?
9)"Цифровое домино" представляет собой набор одинаковых прямоугольников размером , разделенных на два одинаковых квадрата, причем в каждом из этих двух квадратов написана какая-нибудь цифра от 0 до 9. Известно, что для любых двух разных цифр имеется ровно одна доминошка, на которой написаны эти цифры, и ни на одной доминошке не написаны две одинаковые цифры. Доминошки выкладывают в ряд, следуя обычным правилам игры в домино: в примыкающих друг к другу квадратиках двух соседних доминошек должны быть написаны одинаковые цифры. Из какого наибольшего числа доминошек может состоять такой ряд?
10)Рассмотрим прямоугольник ABCD. Известно, что AB=8 и AD=6 . Найти радиус окружности описанной около треугольника XYD , если известно, что X лежит на стороне AB, Y лежит на стороне AD и площадь XYD треугольника равна 24.

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[lzds]

расскажите про часы, пожалуйста!

[FirstAID]

lzds да , как с часами юыть ?

[FirstAID]

Robot нет не в девятой , а в восьмой .

[Robot]

minasyanvaagn
я уже совсем запуталась
Вы расскажите, как решали ту задачу, в которой у нас не совпадают ответы

[FirstAID]

Robot попробую обьяснить 8 задачу :
1 ) для нумерации 9 страниц 1 , 2 , ....9 страниц потребуется 9 цифр
2) для нумерации страниц с 10 по 99 - 180 цифр
3) для нумерации с 100 по 999 - 2700 чифр
Пусть надо дабавить k страниц , а (999+t) - это есть число страниц , тогда по условию задачи
9+90*2+900*3+k*4 = (999+t) * 3 , тогда k=30 , t=4 => 1003 страницы

[FirstAID]

Robot а можете ещё раз обьяснить задачу про диагонали ? Я что то не понял , зачем на брать пары чисел точек пересечения ?

[Robot]

Пусть надо дабавить k страниц , а (999+t) - это есть число страниц , тогда по условию задачи
9+90*2+900*3+k*4 = (999+t) * 3 , тогда k=30 , t=4 => 1003 страницы

Если вы к 999 страницам добавляете еще k страниц (номера у них уже будут четырехзначными), то число страниц будет 999+k

[FirstAID]

Robot почему 999+k , и почему k должно быть 4-значным ? это в сумме должно быть четырёхзначное число - 1003

[Robot]

зачем на брать пары чисел точек пересечения ?

Мы вовсе не берем пары чисел точек пересечения.
Мы говорим о том, что любая пара пересекающихся внутри 10-угольника диагоналей задает четырехугольник (диагоналями которого они и будут являться.
И наоборот. Если мы выберем 4 вершины, то они задают выпуклый четырехугольник, диагонали которого будут пересекаться внутри него, а значит и внутри 10-угольника
Таким образом, число пар нужных нам диагоналей будет равна числу четырехугольников, которые можно получить, взяв произвольным образом четыре вершины из 10

[Robot]

вопрос задачи. сколько страниц было в книге
Ваш ответ 1003.
Проверяем
Для нумерации первых девяти страниц потребовалось 9 цифр
Для нумерации страниц от 10 по 99 потребовалось 180 цифр (2х90)
Для нумерации страниц от 100 по 999 потребовалось 3х900=2700 цифр
то есть для страниц с 1 по 999 потребовалось 9+180+2700 цифр
Далее пошли четырехзначные
Их в данном случае четыре: 1000, 1001, 1002,1003; k=4
Для каждой страницы потребовалось 4 цифры, то есть 4k, то есть 16 цифр
По условию должно выполняться равенство
9+180+2700+16=3*1003
Это равенство неверно

[FirstAID]

Одна задача — про цифровое домино — появилась и у нас (minasyanvaagn),

Alidoro я удалил после первого же придупреждения . Просто я увидел , что кто - то тут спрашивает олимпиадные задания ( её уже забанил ) вот и тоже решил , но когда её забанили тут же удалил . Больше не буду))

[FirstAID]

Robot нет , не так . 9+180+2700+120=3*1003 делится на 3 .Верно

[Robot]

k это число страниц, которые мы добавляем к 999
оно вовсе не четырехзначное
Но номера у этих k страниц четырехзначные
И потому количество цифр, которые нужны для нумерации этих k страниц 4k

[Robot]

Откуда 120?

[FirstAID]

Пусть надо дабавить k страниц , а (999+t) - это есть число страниц , тогда по условию задачи
9+90*2+900*3+k*4 = (999+t) * 3 , тогда k=30 , t=4 => 1003 страницы

[FirstAID]

Robot тут имеется ввиду решить цело ур-ние в целых числах . А дальше тоже можно найти решения , но они будут не целесообразны , наверно.

[Robot]

minasyanvaagn «Пусть надо дабавить k страниц , а (999+t) - это есть число страниц , тогда по условию задачи
9+90*2+900*3+k*4 = (999+t) * 3 , тогда k=30 , t=4 => 1003 страницы»
я это уже читала
Но вы делаете какие-то неверные посылки
Перечитайте еще раз мой коммент с проверкой
Число страниц равно 999+k
Если по вашему ответув книге 1003 страницы, то это 999+4
И для нумерации этих 4 страниц нужно всего 16 цифр

[FirstAID]

к сожалению , вы правы . А как тогда решить эту задачу ?

[FirstAID]

наверное по такому же принципу , но штоб 4k делилось на 3 ,и чтобы всё друг другу соответствовало, правильно ?

[Robot]

Она сводится к уравнению
9+180+2700+4k=3*(999+k)
(только здесь мы уже исходим из предпосылки, что число страниц четырехзначное)

[Robot]

4k делилось на 4

Обалдеть!

[FirstAID]

Robot хахаха , извените опеечатолся )))) я имею ввиду на 3

[lzds]

так чтоо с часами?))
Robot , помогитее!

[Robot]

minasyanvaagn
Это обычное линейное уравнение
Раскрываете скобки и находите k
Вы уже совсем с этими олимпиадами)))
lzds
я над ней не думала и думать вообще-то нет времени
Там дали какую-то ссылку в первых комментариях, может быть, поможет
Или когда-нибудь потом

[FirstAID]

Robot я понял свою ошибку : не учёл один нюанс ,
а это тут причём ?

Это обычное линейное уравнение Раскрываете скобки и находите k Вы уже совсем с этими олимпиадами)))

[Гость]

Это выражение восторга от красоты решения. Что еще?

[FirstAID]

Если мы возьмем какую-нибудь пару пересекающихся (внутри) диагоналей 10-угольника

то есть они образуют ОДНУ общую точку

То есть достаточно посчитать с помощью правил комбинаторики сколько различных четырехугольников определяют 10 вершин правильного 10-угольника, то есть сколькими способами можно выбрать 4 вершины из 10.

это вы брали дигонали отдельных 4-угольников , а ведь к примеру , лиагонали 1 4-угольника , образованного по вершинам ,пересекаются с диагоанлями другого 4-угольника. Не понял , на основании чего вы сделали последнее утверждение ?

[Robot]

Вам нужно найти число пар пересекающихся внутри 10-угольника диагоналей.
Берем одну такую пару. Она задает четырехугольник. И никакой другой четырехугольник ту же пару диагоналей не задаст.
Берем другую пару, она задает четырехугольник - уже другой.
И обратное тоже верно.
Разные четырехугольники задают разные пары.
Если вы взяли четырехугольник № 1(4689), то его диагонали 48 и 69 пересекаются с диагоналями другого четырехугольника. Ну и что?
Две диагонали могут пересечься только в одной точке и задают одну пару.
Если диагональ 48 пересекается с диагональю другого четырехугольника это будет уже другая пара (и определяться она будет другим четырехугольником)
Например, диагональ 48 будет пересекаться с диагональю 15 внутри. И эта пара будет задавать и задаваться четырехугольником 1458

[даша_шиншила]

Объясняю про часы:
Они будут показывать правильное время только тогда, когда мин. и час. стрелки совпадают. Это будет: 00-00, 01-05, 02-10, 03-15, 04-20, 05-25, 06-30, 07-35, 08-40, 09-45, 10-50, 11-55. Итого 12 раз. И еще 12 раз точно так же после полудня. Итого ответ 24.

[даша_шиншила]

Теперь что касается книг. Не понимаю я вашего решения и откуда берется 1003. Но могу точно сказать, что ответ 1003 неверен. Как уже писалось выше, то 999-ой страницы включительно использовано (9+180+2700) = 2889 цифр. на страницы 1000-1003 уйдёт 4*4 = 16 цифр. Всего 2905 цифр. А страниц 1003. Несостыковочка.
У меня ответ 1107, и я уверена в его правильности на 100%.
Решение:
До 999-ой страницы включительно использовано 2889 знаков. Пусть начиная с 1000-ой страницы кол-во страниц = х.
Тогда страниц: 999+х.
Знаков: 2889+4х
уравнение:
3(999+х) = 2889+4х
х = 2889-999*3 = 108
всего страниц = 999+108 = 1107
Вот и всё