найти n-ую производную y=1/(x^2+x+1)?

[bla_bla__]

завтра зачет по матану
`TZ` найти n-ую производную `y=1/(x^2+x+1)` [[/TZ]]
я так понимаю,нужно несколько раз вычислить производную и найти какую-нибудь закономерность??
закономерность найти не получается,считала до шестой..

запись создана: 27.12.2010 в 20:35

@темы: Математический анализ, Производная

Comments

[Alisa_Selezneva]

Могу написать план решения этой задачи!

[Trotil]

Я предлагаю разложить в два комплексных числа x^2+x+1 и взять производную от суммы двух дробей.
У Обоих дробей легко получается n-тая производная.
Затем сложить две дроби. Знаменатель легко восстанавливается, а с числителем нужно будет чуток поколдовать, чтобы избавиться от комплексов.

[Alisa_Selezneva]

Trotil, я бы сначала вывела формулу для производной n-го порядка функции `y=1/(x^2+1)`, используя равенство: `1/(x^2+1)=1/(2i)*(1/(x-i)+1/(x+i))`. А затем выделяя полный квадрат в знаменателе данной дроби, легко получить ответ.

[Trotil]

Алиса, одно и тоже по трудозатратам. Что полный квадрат выводить, что корни искать...

[bla_bla__]

Alisa_Selezneva, Trotil ,спасибо большое.
а без комплексных чисел никак,да???

[Alisa_Selezneva]

bla_bla__, думаю, что без комплексных чисел не обойтись!

[Trotil]

Ммм... Без комплексных вот:

1/(x^2+x+1) = x* (1/(x^3-1) - 1/(x^3-1)

y' = 1 * (1/(x^3-1)) + (x-1)*(1/(x^3-1)'
y'' =

Но не обещаю лёгкой жизни в конечном итоге...

[bla_bla__]

эх
спасибо вам!)