Сумма

[Новый гость]

Здравствуйте.
Ответов у меня нет, а сам я что-то не додумаюсь, как решить. Сказано, что задача для 9-го класса.
`TZ`
Найдите сумму:
`1*3+3*5+5*7+...+999*1001`
[[/TZ]]
Решал так:
Мне кажется, что каждое число имеет вид `(2n-1)(2n+1)=4*n^2-1`, где `n in N`
Но как доказать это (возможно, по индукции), я не знаю.
Эти числа не составляют ни арифметическую, ни геометрическую прогрессию.
`S_1=3`
`S_2=18`
`S_3=53`
`S_4=116`
Как-то нужно найти `S_500`. Но как?
Помогите, пожалуйста. Заранее спасибо.

@темы: Олимпиадные задачи, Теория чисел

Comments

[Trotill]

1+4+9+16+.. считать умеешь?

[Новый гость]

А откуда

1+4+9+16

[Trotill]

Я сам придумал.

[Новый гость]

Понял: это квадраты. Но как найти сумму квадратов?

[Trotill]

Вот я и спросил - умеешь или нет?

[Новый гость]

По-обычному - да, но это долго.
Может, можно по индукции?

[Trotill]

Можно и по индукции.

А можно воспользоваться утверждением, что формула от `n` будет многочленом третьей степени.

f(n)=a*x^3+b*x^2+c*x+d

Следовательно, нужно найти f(0),f(1),f(2),f(3) и составить систему уравнений относительно {a,b,c,d}.

Способ третий (но это уже не школьная программа, поэтому чисто для справки): введём многочлен f(x) = 1 + 4*x + 9*x^2 + 16*x^3 + ... Нам нужно найти значение f(1).
У нас появляется возможность его интегрировать и дифференцировать. Это немного упростит дело...

[Новый гость]

Подождите, сейчас нужно всё это осмыслить...

[Новый гость]

0 не брал, потому что это не натуральное число.
Получилась система:
`{(a+b+c+d=1),(8a+4b+2c+d=18),(27a+9b+3c+d=53),(64a+16b+4c+d=116.):}`
Как её можно решить рационально школьными способами? Если решать обычно, подстановкой и сложением, то можно решать очень долго.

[Новый гость]

Или всё-таки подстановка и сложение?

[Диана Шипилова]

0 не брал, потому что это не натуральное число.

А с нулем было бы удобнее. Мы бы сразу нашли d.

[Новый гость]

Да я уже понял `d=-1`, хотя это "нечестно"
`a+b+c=2`
Преобразуем второе уравнение:
`7a+3b+c=17`
`6a+2b=15`
А как дальше?

[Диана Шипилова]

Исключайте переменные.

[Новый гость]

Какие-то нереальные получились коэффициенты:
`a=19/24`
`b=-13/8`
`c=-47/12`

[Диана Шипилова]

Тогда `a+b+c!=2`.

[Новый гость]

Что же делать?

[Новый гость]

Всё, с квадратами разобрался (нашёл формулу).
Ответ такой: 41791250
Всем спасибо.

[Trotill]

Формулу-то найти не проблема. А вот выводить - это само по себе интересная задача.

[Новый гость]

Trotill Но вывести нужно ещё уметь, а у меня только доказательство. Как догадаться и найти закономерность?

[Trotill]

Новый гость

Так я и сказал, как. Решить систему уравнений.

[Новый гость]

Trotill
А я и решил (комментарий

2010-12-24 в 14:35

), но коэффициенты "ненормальные"

[Trotill]

Нет, ты не решил - коэффициенты неправильные. Где-то арифметическая ошибка.
Да и всегда проверить можно - написать многочлен и посчитать несколько значений.

[Новый гость]

Trotill Хотя бы скажите - сама система составлена верно? (комм. от 2010-12-24 в 14:11) Только четвёртое уравнение в ней заменить на `d=-1`

[Trotill]

Да, что-то не то. После обеда разберусь.

[Trotill]

Так, разобрался. Проблемы начались с того момента, когда положили d=-1. Это неправильно, потому что получается ряд с другими частичными суммами, а именно:

(-1) * 1 + 1*3 + 3*5 + 5 *7

Здесь

s0 = -1
s1 = 2
s2 = 17
и т.д. - совсем другой ряд!

Диана правильно подсказала, что ряд лучше начать с нуля, но она имела ввиду следующее:

0 -> 3
1 -> 18
2 -> 53
3 -> 116.

Получится система: d=3, (a+b+c+d=18), (8a+4b+2c+d=53), (27a+9b+3c+d=116)
Ее решение: a = 4/3, b = 6 ,c = 23/3, d = 3
И многочлен соответственно 4/3 * x^3 + 6 * x^2 + 23/3 * x + 3

Можно даже подсчитать 4 -> 116 + 9*11 = 215
f(4) = 4/3 * 4^3 + 6 * 4^2 + 23/3 * 4 + 3 = 215. Ура!

И последнее, что можно сделать - можно сделать так, чтобы нумерация ряда была с единицы. Это просто: нужно наменить x на x-1:

4/3 * (x-1)^3 + 6 * (x-1)^2 + 23/3 * (x-1) + 3 = (4 x^3)/3+2 x^2-x/3 = 1/3 x (4 x^2+6 x-1)

Естественно, последняя строчка получается и из системы

(a+b+c+d=3), (8a+4b+2c+d=18), (27a+9b+3c+d=53), (64a+16b+4c+d=116)

[Trotil]

Добил задачу, разобрался?

[FirstAID]

Trotil почем

А можно воспользоваться утверждением, что формула от `n` будет многочленом третьей степени.

f(n)=a*x^3+b*x^2+c*x+d

??
И как после нахождения коэфицентов найти сумму всех чисел ?

[Диана Шипилова]

minasyanvaagn
Подставить вместо n 500.

[FirstAID]

Диана Шипилова а формула откуда ?

[Диана Шипилова]

minasyanvaagn

f(n)=a*x^3+b*x^2+c*x+d

Вместо икса здесь имеется в виду n, конечно.