Задача с векторами по аналитической геометрии

[asb]

Здравствуйте!

Помогите пожалуйста решить:
|a| = 1, |b| = 1, угол между a и b = pi/4.
Необходимо найти cos угла между векторами (a+b, a-b);

Я начал это решать через скалярное произведение, получилось вот, что:
cos(a) = (a + b, a - b) / |a+b| * |a-b|
Дальше непонятно что делать и как подставлять данные.

@темы: Аналитическая геометрия, Векторная алгебра

Comments

[mazdasd]

Я бы решал так: Построил бы сумму и разность этих векторов и искал угол между диагоналями паралелограмма

[s_tat]

Так найдите скалярное произведение (a+b,a-b),(a+b,a+b),(a-b,a-b).
`|a+b|=sqrt(a+b,a+b)`
И дальше в том же духе.

[Alidoro]

и искал угол между диагоналями паралелограмма

А если учесть, что |a|=|b|, то угол между диагоналями ромба. Неужели прямой угол будет? А угол между a и b тогда зачем?

[Robot]

Alidoro
Обычно в таких задачах авторы даже и не задумываются о геометрической составляющей, предполагая решение методом s_tat

[Alidoro]

Тогда (a+b,a-b) после раскрытия скобок даст нам ноль - мы ведь знаем, что |a|=|b|. Длины a+b и a-b можно не вычислять - косинус все равно нулевой получится. А про угол даже не вспомнили. Приткнуть некуда.

[asb]

Не совсем понял, как всё-таки это решать.
Я правильно сделал, что начал это решать, как: cos(a) = (a + b, a - b) / |a + b| * |a - b|
Собственно как посчитать (a + b, a-b)? Это можно как-то разложить?
Что делать с модулями в знаменателями тоже неясно, ведь |a| + |b| не равен |a+b|...

[Robot]

Если делать длинно, то

(a + b, a-b)

= (a,a)+(a,b)-(a,b)-(b,b)
Аналогично расписываются
|a+b|=sqrt((a+b,a+b))
Но Вы почитайте, что написали mazdasd Alidoro

[Alidoro]

Со знаменателем пока ничего не делайте. Вам будет достаточно, что он не равен нулю. А числитель преобразуйте с помощью свойств скалярного произведения - линейность, коммутативность - вы же это должны были проходить.

[asb]

(a,a)+(a,b)-(a,b)+(b,b);
(a, a) = 1
(b,b) = 1
(a, b) - (b, a) = 0

В числителе получается 1+1 = 2? Я всё верно понимаю?

[Robot]

Я опечаталась, а вы бездумно переписали, даже не пытаясь считать самостоятельно
(a + b, a-b) = (a,a)+(a,b)-(a,b)-(b,b)

[asb]

Я пытался считать самостоятельно, никак не понимал, откуда там плюс, но всё же поверил.
Получается в числителе ноль, а знаменатель не равен нулю, следовательно cos(a) = 0, a = arccos(0) = pi/2;
Тоже самое выходит из решения задачи с помощью ромба.
Только я не понял одного, зачем же давался угол между a и b?

[Robot]

asb
Alidoro в

2010-12-14 в 13:26

уже задал вопрос Неужели прямой угол будет? А угол между a и b тогда зачем?
это остается тайной составителей задачи.

[asb]

Спасибо вам за помощь!