ЗАчётка по гемоетрии ... и снова обращаюсь к вам ))

[Phaust94]

2.Докажите, что внутри треугольника, образованного прямыми `7x+y-2=0` , `5x+5y-4=0` , `2x-2y+5=0` существует точка, равноудалённая от первых двух прямых и отстоящая от третьей на расстоянии `(3sqrt(2))/4`. Определите координаты этой точки.
Решение:
1)Пишу уравнение одинакового расстояния от прямых:`|7x+y-2|=|5x+5y-4|`
И сразу возникает вопрос: как понять, какая из медиан лежит внутри треугольника?

3.`TZ`Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку `(-1,2,1)`параллельно прямой `x/2=-y/3=-z` и образующей угол 60 градусов с прямой `x=y,z=0`[[/TZ]]
Решал:
1)Находим вектор прямой, параллельно которой надо прводить плоскость: `vec a={2,-3,-1}`
2)вектор второй прямой:`vec b={1,1,0}`
3)Тут начинается ступор: что делать дальше?
Имеем формулу `sinalpha=|cos(90-alpha)|=|{vec a,vec N}|/(|vec a||vec N|)`, где фигурные скобки - скалярное произведение, а `vec N` - вектор нормали к искомой плоскости
что делать дальше?

4.`TZ`Точка А лежит на прямой `x-y-3=0,2x+z=0`. Расстояние от точки А до прямой `x=y=z`равно `sqrt(6)`.Найдите координаты точки А.[[/TZ]]
Решал:
1)Находим направляющий вектор первой прямой:`vec a={-1,-1,2}`, второй - `vec b={1,1,1}`.
2)Видим, что прямые скрещиваются, т.е. в одной плоскости не лежат
3) ступор. что дальше??

5.`TZ`Через точку `(2,1,3)` проведите прямую, параллельную плоскости `x+y+z=a` и пересекающую прямую `x=y,y=2z`[[/TZ]]
Сразу ступор ((

@темы: Аналитическая геометрия

Comments

[Alidoro]

2.

Пишу уравнение одинакового расстояния от прямых

Уравнение неправильное

как понять, какая из медиан лежит внутри треугольника?

Вообще-то речь идет о биссектрисе

3. Что делать дальше? Находить нормаль из этого условия и из того, что нормаль перпендикулярна `vec a`.

[Alidoro]

4

ступор. что дальше??

Можно записать параметрическое уравнение первой прямой и искать неизвестное значение параметра при условии заданного расстояния точки M(t) от другой прямой.

5. Сначала через точку провести параллельную плоскость, а потом искать пересечение с прямой.

[Phaust94]

Уравнение неправильное

Н почему же оно неправильное??

Если точка равноудалена от прямых, то расстояние от одной прямой равно расстоянию от другой прямой, т.е. `|7x+y-2|/(sqrt(49+1))=|5x+5y-4|/sqrt(25+25)`. Потом сокращаем `sqrt(50)` в знаменателе и получаем то, что я написал, т.е. уравнения биссектрис углов между данными прямыми

[Alidoro]

Извините, не увидел, что здесь получается одинаковый знаменатель. Вы правы.
По биссектрисе. Уберите модули из этого уравнения и вместо этого напишите правильные знаки. Выберите такие знаки, чтобы подстановка третьей точки треугольника давала, к примеру, положительные значения. Тогда биссектриса будет относиться к внутреннему углу треугольника. (И к вертикальному ему углу.)

[Phaust94]

а как понять, как раскрывать модуль??
и по 5. проводим плоскость, параллельную данной, и проходящую через точку `(2,1,3)`, т.е. плоскость `x+y+z-6=0`. Потом проводим плоскость через точку `(0,0,0)`,которая лежит на прямой `x=y,y=2z`, точку `(2,1,3)` и направляющий вектор прямой `x=y,y=2z`, т.е. `{2,2,1}`
получаем прямую `(x-2)/2=(y-1)/7=(z-3)/-9`

[Alidoro]

Потом проводим плоскость через точку

А это зачем? У вас плоскость (линейное уравнение) и прямая (два линейных уравнения). Составляете систему и ищете пересечение.
По модулю я написал выше.

[Phaust94]

А это зачем? У вас плоскость (линейное уравнение) и прямая (два линейных уравнения). Составляете систему и ищете пересечение.

Да, вроде сходится, и мой метод, и ваш. А по биссектрисе я немного не понял. Какую точку подставлять??

[Phaust94]

вот только в 5 меня смущает, что от параметра а ничего не зависит.Это , по-моему , плохо???

[Alidoro]

Уравнение задает прямую, проходящую через две вершины треугольника. Подставляете третью вершину в уравнение и выбираете знак уравнения, чтоб получался плюс. То же со второй стороной.

[Phaust94]

проблема в том, что там координаты ужасные, вряд ли подразумевалось, что их нужно находить. да и вектор нормали я могу направить в плоскости треугольника в любую полуплоскость, всё зависит от меня(ну, например, умножить уравнение на (-1))

[Alidoro]

Да, у вас тоже правильно. Сначала я не очень понял.

[Phaust94]

что насчёт параметра скажете?? почему он не участвует?? это нормально? и по поводу третьей задачи??

[Alidoro]

Нормально, по-моему. Вместо a при формулировке задачи можно было выбрать любое число. Вот и поставили a, чтоб намекнуть, что от него ничего не зависит. А что насчет третьей задачи?

[Phaust94]

насчёт третьей - мне кажется, что она очень уж жуткая! там даже если векторнормаи повыражать, потом порешать жуткие системы, вочспользоваться тоеоремой Кронекера-Капелли, получим, плоскость `x-y+3=0`. Но я в этом сооовсем неуверен.
решал:
`(vec a,vec E_N)=sqrt(3/2)=> E_N_1+E_N_2=sqrt(3/2)`тогда вектор нормали `vec E_N={sqrt(3/2)-E_N_2;E_N_2;0}`, плоскость - `A(y-2)+(sqrt(3/2)-A)(x+1)=0`
`|(x+1,y-2,z-1),(2,-3,-1),(c_1,c_2,c_3)|=(-3c_3+c_2)(x+1)-(y-2)(2c_3+c_1)+(z-1)(2c_2+3c_1)`
Отсюда `-3c_3+c_2=sqrt(3/2)-A` , `2c_3+c_1=-A` ,`2c_2+3c_1=0`, т.е. `c_1+c_2-c_3=sqrt(3/2)` , `2c_3+c_1=-A` ,`2c_2+3c_1=0`
`|(1,1,-1),(1,0,2),(3,2,0)|=0` Тогда надо, чтобы rg(A)=rg (A|B). Следовательно, `((1,1,-1,sqrt(3/2)),(1,0,2,-A),(3,2,0,0))`Чтобы столбцы были пропорциональны, надо взять A=`sqrt(6)`. Отсюда и получаем уравнение, которое я привёл.
`vec E_N` - отр вектора нормали, а `c_1,c_2,c_3` - координаты какого-то вектора в плоскости (проекции вектора а на плоскоксть)

[Alidoro]

Предположим, нам надо искать единичную нормаль плоскости. Тогда первое условие - 60 градусов, второе условие - перпендикуляр, третье условие - единичная длина.
`{(sqrt 2/2 x+sqrt 2/2 y=sqrt 3/2),(2x-3y-z=0),(x^2+y^2+z^2=1):}`
По-моему, школьное уравнение.

[Phaust94]

а в том, что я написал, где ошибка ??

[Alidoro]

а в том, что я написал, где ошибка ??

Даже не знаю. У меня нет сил участвовать в таких приключениях.

[Phaust94]

Там я немного ошибся, получилось `3x-y+5=0`
а по вашему методу получается `2x+y-z+1=0`

как понять, что мой ответ неверен ???

[Alidoro]

а по вашему методу получается...

Не может такого быть. Должно получиться две плоскости.

[Phaust94]

да, их две. я выбрал лучшую )))

[Alidoro]

как понять, что мой ответ неверен ???

Ну, можно убедиться, что ваша плоскость не параллельна вектору (2,-3,-1).

[Alidoro]

Это я не понял.

[Phaust94]

Я понял, как решать. а что делать с 4ой? я не очень понял.

[Alidoro]

Параметрическое уравнение первой прямой можете составить?

[Phaust94]

да, решил, получил точку `(1,-2,-2)`

[Phaust94]

А в 2. получил `(0,1)`

[Alidoro]

Правильно. Обе.

[Phaust94]

обе две правильно ???

[Alidoro]

Да, вторую тоже проверил.

[Phaust94]

отлично! спасибо огромное !!