Пределы и точки разрыва

[Igr0k666]

Добрый вечер, господа!!!

Помогите мне пож-та с решением следующих примеров.

№6) Доказать, что lim n-> infinity (a_n)=a
Указать N(E);

("a_n" это "a" с подстрочным индексом "n")

a_n=2n^3/(n^3+2) , а=2

Решение:

я подставляю значение а_n в выражение lim n-> infinity (a_n)=a
и нахожу предел. И в итоге получается 2=2. Так?
А каким образом можно указать N(E) ??

№7)

Определить точки разрыва и их тип:
у=1 условие: x при x<=pi ; 2 условие: sin(x) при -pi < x < = pi/2 ; 3 условие: 1 при x>pi/2

(Все эти 3 условия записаны в одной системе, здесь не удалось к сожалению так записать)

Решение:

в точке "минус пи на 2" неустранимый разрыв 1 рода, т.к. слева в этой точке "минус пи", а справа 0.
В точке "пи на 2" устранимый разрыв 1 рода, т.к. и слева, и справа в этой точке функция равна 1. Правильно?

@темы: Пределы

Comments

[_ТошА_]

1) Доказывается по определению. Напишите опред. предела последовательности.
2) Если пределы посчитаны верно, то правильно

[Igr0k666]

_ТошА_ 1)в определении написано, что для каждого Е(Е>0) существует N(N-натуральное), что a_n-AN
а дальше что делать?
2)Проверьте пож-та мои посчитанные пределы, оч надо чтобы кто то проверил))

[_ТошА_]

2) выложите решение - проверю
1) Ну так и расписывайте `|a_n - A|` и доказывайте, что он меньше эпсилон с определённого номера

[Igr0k666]

2) lim->-pi-0 (x)=-pi
lim->-pi+0 (x)=0

lim->pi/2-0 (1)=1
lim->pi/2+0 (1)=1
ПРавильно? БОльше нет в этой функции точек разрыва?


1)A=2

|A-a_n|<E
|A-a_n|=|2-2n^3/(n^3+2)|
а дальше как, хот убейте никак не могу понять как делать дальше(сорри за тавталогию)

[Igr0k666]

_ТошА_ 1)|A-a_n|=|2-2n^3/(n^3+2)|
Привел к общему знаменателю выражение в модуле. Получилось :

|(2n^3-4)/(2n^3+4)|<E

а как выразить "n" ?

[_ТошА_]

для начала к общему знаменателю верно привести

[Igr0k666]

_ТошА_Поторопился))ПОлучаем общий знаменатель здесь (n^3+2) , получается в знаменателе 2n^3-2*(n^3+2) так?
затем приводим подобные и получается в числителе -4, а в знаменателе (n^3+2), т.е. |-4/(n^3+2)|<E
Получаем, 1/|n^3+2|<4*E ;
|n^3+2|>1/4*E
Так?

[_ТошА_]

|-4/(n^3+2)|<E это верно

`|-4/(n^3+2)| = 4/(n^3+2)

[Robot]

№7

Пределы посчитаны верно
но непонятно, почему

В точке "пи на 2" устранимый разрыв 1 рода, т.к. и слева, и справа в этой точке функция равна 1

Предел слева=пределу справа и равен значению функции в этой точке
==
Темы проставляйте в дальнейшем

[Igr0k666]

Robot подскажите пож-та а какой тогда тип разрыва в задании №7? получается, что раз левый и правый предел равны существует а также они равны знчению функции то получается функция имеет неустранимый разрыв 1 рода? а остальные точки разрыва найдены верно, я ни чего не пропустил?

[_ТошА_]

о получается функция имеет неустранимый разрыв 1 рода?

не надо гадать, прочитайте учебник и поймите, а то говорите ерунду

[Robot]

то получается функция имеет неустранимый разрыв 1 рода

откуда вы взяли

[Igr0k666]

Robot я уже читал данные определения и не раз. Но как к данному случаю их соотнести-я не пойму? скажи те пожалуйста какой же там предел все-таки?!

[_ТошА_]

Igr0k666 советую прочитать ещё раз. Если вы не понимаете эти определения, то дальше вам будет сложно

[Igr0k666]

_ТошА_ ну чтож, попытаюсь подогнать под определение мой случай.
Итак, левый и правый пределы существуют и равны. Так? если мы подставим "1" в функцию то получается , что функция не определена. Так получается?

[_ТошА_]

Почему мы подставляем 1 в функцию, если у нас точка pi/2

[Igr0k666]

_ТошА_ точно. значит в 3 условии где x>pi/2 при подстановки х=pi/2 не выполняется, т.е. функция не определена. Так? Значит согласно определения эту точку называют ?устранимой точкой разрыва функции"?

[_ТошА_]

у вас функция задана кусочно. Так вот какой функцией она задана в точки pi/2?

[Igr0k666]

_ТошА_ в точке pi/2 она задана функцией sin(x) при -pi < x < = pi/2

[_ТошА_]

Ну, так чему равно значении функции в точке pi/2?

[Igr0k666]

_ТошА_ sin(pi/2)=1 как и значение пределов слева и справа

[_ТошА_]

значит устранимый разрыв 1ого рода

[Robot]

Куда-ты тропинка меня привела? (с)
Если предел слева равен пределу справа и равен значению функции в этой точке, то функция в этой точке непрерывна

[Igr0k666]

Robot значит в моей кусочной функции получается что только "в точке "минус пи на 2" неустранимый разрыв 1 рода, т.к. слева в этой точке "минус пи", а справа 0." и все? больше точек разрыва нет?

[Robot]

нет, других нет
График начертите и увидите

[Igr0k666]

Robot понятно. Огромное спасибо Robot и Тошаза за подробное и понятное разъяснение.

[_ТошА_]

да уж, я уже одеваясь отвечал, что-то напутал оО