[Alidoro]

Никогда не любил Кострикина. Его первый учебник 1977 вышел в одном томе под голубенькой обложкой и соответствовал по содержанию 1-му и 3-му томам современного трехтомника. Половину той книги я в свое время прилежно изучил, и никаких вопросов у меня не возникало, только было немного трудно приспособиться к его способу изложения. Сейчас эту книжку я давно продал и держу на полке современное трехтомное издание. Как оказалось, я не очень в курсе, что там написано. Начать с того, что однажды я принялся искать там лемму Бернсайда, которая была в старой книге. И не нашел. Но это беда небольшая. Хуже, что сегодня я обнаружил такой текст (обратите внимание на определение окаймляющего минора):

Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры. 3-е изд. 2004 г.

Может у меня какой заскок, но мне кажется что определение окаймляющего минора просто неверное. Почему "крайней строки"? И теорема тоже получается неверной. Возьмем, например матрицу
`((1\ \ \0\ \ \0\ \ \0),(0\ \ \1\ \ \0\ \ \0),(0\ \ \0\ \ \1\ \ \0),(0\ \ \0\ \ \0\ \ \0))`
В ней минор `M((1\ \ \2\ \ \3),(1\ \ \2\ \ \3))` не является окаймляющим для минора `M((1\ \ \3),(1\ \ \3))`. Что же, ранг этой матрицы разве 2?
Или, как это нередко бывает, я что-то неправильно здесь понимаю?

P. S. Кстати, у меня второе бумажное издание. В нем тот же текст.

@темы: Матрицы, Высшая алгебра

Comments

[Гость]

Может у меня какой заскок

Формально. В записи `M((1\ \ \2\ \ \3),(1\ \ \2\ \ \3))` не накладывается ограничение на упорядоченность номеров строк и столбцов.

[Alidoro]

Гость Я думал об этом. То есть, минор `M((1\ \ \3\ \ \2),(1\ \ \3\ \ \2))` является окаймляющим для минора `M((1\ \ \3),(1\ \ \3))`, а миноры `M((1\ \ \3\ \ \2),(1\ \ \3\ \ \2))` и `M((1\ \ \2\ \ \3),(1\ \ \2\ \ \3))` — это разные миноры (и имеют разный знак), поскольку правила отождествления таких миноров не приведено. Но о таком понимании минора хорошо было бы явно сказать сразу после того, как было дано определение, поскольку те миноры, которые были раньше всегда шли с возрастанием индексов. Да и "обобщенное" определение минора, которое я цитировал выше подразумевает естественный порядок индексов и только после фразы "Иногда говорят..." становится возможным гипотетическое понятие минора с неупорядоченными индексами.

Если же разные упорядочения индексов это просто различные обозначения одного и того же минора с естественным упорядочением, то теряется смысл упоминания "с краю".

Замечание, что окаймлять минор можно только "с краю" не используется в доказательстве Теоремы, поскольку там базисный минор располагается в левом верхнем углу матрицы, и все окаймления и так происходят с краю. Может быть, в дальнейшем где-то используется понятие окаймления, где это замечание существенно. Но это надо читать Кострикина сплошь. В традиционно построенных курсах окаймление больше не используется.

[Гость]

Alidoro

Все сомнения развеет последнее предложение приведенного фрагмента. Без ограничения общности...

это разные миноры (и имеют разный знак)

Для определения ранга это не существенно.

то теряется смысл упоминания "с краю".

Вовсе нет. С краю - присоединенный столбец(строка). С произвольным номером. Стек (двусторонний) - втолкнуть, проверить, вытолкнуть, повторить. Присоединение - это процесс.

В традиционно построенных курсах окаймление больше не используется.

Не Вы один оказались в замешательстве... Каждый пишет, в основном, то, что может сам понять. И авторы традиционно построенных курсов...
Лучшее - враг хорошего.
Болонская система и т.д. и т.п. )