Нахождение предела последовательностей

[Alex TGM]

Прошу помочь с парой номеров, а так же прошу проверить некоторые решения:

Найти пределы:

1.

1

`lim_(n->inf)(sqrt(n^3 + 8)*(root(3)(n^3 + 2) - root(3)(n^3 -1)))`
Это задание я так решить и не смог. Постоянно возникает неопределенность 0 * inf


2.

2

`lim_(n->inf)(1/(a_1*a_2) + ... + 1/(a_n*a_(n+1)))`
Представил соседние члены в виде:
`1/(a_n*a_(n+1)) = (1/a_n - 1/(a_n + d))*(1/d)`
Где d - шаг прогрессии
Представляем всю последовательность в этом виде:
`lim_(n->inf)1/d(1/a_1 - 1/(a_1 + d)) + 1/d(1/a_1 + d - 1/(a_1 + 2d)) + ... + 1/d(1/(a_1 + (n-1)d) - 1/(a_1 + nd))`
`lim_(n->inf)1/d((1/a_1 - 1/(a_1 + d)) + (1/a_1 + d - 1/(a_1 + 2d)) + ... + (1/(a_1 + (n-1)d) - 1/(a_1 + nd)))`
Приводим подобные:
`lim_(n->inf)1/d(1/a_1 - 1/(a_1 + nd))`
Приводим к общему знаменателю:
`lim_(n->inf)1/d((a_1 + nd - a_1)/(a_1*(a_1 + nd)))`
Приводим подобные:
`lim_(n->inf)1/d((nd)/(a_1*(a_1 + nd)))`
Сокращаем на d:
`lim_(n->inf)(n/(a_1^2 + a_1*nd))`
Делим на n:
`lim_(n->inf)(1/(((a_1^2)/n) + a_1*d))`
Устремляя n -> 0 остается:
`lim_(n->inf)(1/(0 + a_1*d)) = 1/(a_1*d)`
Все ли я верно тут решил?


3.

3

`lim_(n->inf)((2 + root(n)(7))/3)^n`
Неопределенность `1^inf`
`e^(lim_(n->inf)((2 + root(n)(7) - 3)/3)*n)`
`e^(lim_(n->inf)((root(n)(7) - 1)/3)*n)`
`e^(lim_(n->inf)((root(n)(7)*n - n)/3))`
`e^(lim_(n->inf)((root(n)(7) - 1)/(3/n)))`
`lim_(n->inf)((root(n)(7) - 1)/(3/n)) = 0`
`e^(lim_(n->inf)((root(n)(7) - 1)/(3/n)) = 1)`
Верно?


—

Доказать по определению:

4.

4

`lim_(n->inf)((n!(n^2 + 10n +3))/(5n)) = inf`
Это я не знаю как решать в принципе...


—

Найти `Inf(x_n), Sup(x_n)`

5.

5

`x_n = ((n^2 + 1)/(n^2 + 2))*sin((2pin)/3), (n = 1,2, ... ,n)`

1. Рассмотрим `n_p = 3p, (p in N)`
`x_n_p = (((3p)^2 + 1)/(3p)^2 + 2))*sin(2pin)`
Это стремиться к 0

2. Рассмотрим `n_p = 3p + 1, (p in N)`
`x_n_p = (((3p + 1)^2 + 1)/((3p + 1)^2 + 2))*sin((6pin)/3 + (2pin)/3)`
`x_n_p = (((1 + 1/((3p + 1)^2)))/(1 + 2/((3p + 1)^2)))*sin((6pin)/3 + (2pin)/3)`
Это стремиться к `1 * sqrt3/2 = sqrt3/2`

3. Рассмотрим `n_p = 3p + 2, (p in N)`
`x_n_p = (((3p + 2)^2 + 1)/((3p + 2)^2 + 2))*sin((6pin)/3 + (4pin)/3)`
`x_n_p = (((1 + 1/((3p + 2)^2)))/(1 + 2/((3p + 2)^2)))*sin((6pin)/3 + (4pin)/3)`
Это стремиться к `1 * -(sqrt3/2) = -(sqrt3/2)`

`Sup(x_n) = -(sqrt3/2)`
`Inf(x_n) = sqrt3/2`

Правильно?


—

Доказать сходимость(Критерий Коши):

6.

6

`x_n = (cos3/(3*5)) + (cos5/(5*7)) + ... + (cos(2n+1)/((2n+1)*(3n+3)))`
Приводим последовательность к виду, при этом добавляя p членов:
`x_(n+p) = (1/((2n + 3)*(2n + 5)) + (1/((2n + 5)*(2n + 7)) + ... + (1/((2n + 2p + 1)*(2n + 2p + 3)))`
`x_(n+p) = 1/2(1/(2n + 3) - 1/(2n + 5) + 1/(2n + 5) - 1/(2n + 7) + ... + 1/(2n + 2p + 1) - 1/(2n + 2p + 3))`
Сокращаем лишнее:
`x_(n+p) = 1/2(1/(2n + 3) - 1/(2n + 2p + 3))`
Приводим к общему знаменателю:
`x_(n+p) = 1/2((2n + 2p + 3 - 2n - 3)/((2n + 3)(2n + 2p + 3)))`
`x_(n+p) = 1/2((2p)/((2n + 3)(2n + 2p + 3)))`
Допустим p = n:
`x_(n+p) = 1/2((2n)/(8n^2 + 12n + 6n + 9))`
`x_(n+p) = ((2n)/(16n^2 + 36n + 18))`
Делим все на 2n
`x_(n+p) = (1/(8n + 18 + 9/n))`
Данная последовательность будет всегда меньше любого, на перед заданного `epsilon`
`x_(n+p) = (1/(8n + 18 + 9/n)) < epsilon`

Верно?


Заранее всем спасибо за помощь!!!

запись создана: 22.11.2010 в 13:32

@темы: Математический анализ, Пределы

Comments

[Alidoro]

Представил соседние члены в виде:

Что-то странное вы написали. Если выполнить действия, то справа будет единица.

Где d - шаг прогрессии

О какой прогрессии идет речь? В условии задачи не было прогрессии.

У вас пропали номера задач. Очень трудно делать ссылки.

[Alex TGM]

Представил соседние члены в виде:
Что-то странное вы написали. Если выполнить действия, то справа будет единица.

Это я просто забыл поставить скобку.

Где d - шаг прогрессии
О какой прогрессии идет речь? В условии задачи не было прогрессии.

`a_1, a_2, a_3, ... , a_n` в знаменателях и есть прогрессия... По крайней мере мне так сказал преподаватель.

У вас пропали номера задач. Очень трудно делать ссылки.

Нумерацию заданий возвратил. Писал очень быстро, могут быть ошибки.

[Alidoro]

2. Можно короче. Начиная отсюда: `lim_(n->oo)1/d(1/a_1 - 1/(a_1 + nd))` можно устремить n к бесконечности и получить нулевое второе слагаемое в скобках.

[Alex TGM]

Точно. В итоге я все равно получу `1/(a_1*d)`

Alidoro, а вот такое решение первого задания приемлемо?:
`lim(n->inf)(sqrt(n^3 + 8)(root(3)(n^3 + 2) - root(3)(n^3 - 1)))`
Выносим `root(3)(n^3 + 2)`за скобки
`lim(n->inf)(sqrt(n^3 + 8)(root(3)(n^3 + 2)(1 - (root(3)(n^3 - 1))/(root(3)(n^3 + 2))))`
Делим выражение на `root(3)(n^3 + 2)`
`lim(n->inf)(sqrt(n^3 + 8)/(root(3)(n^3 + 2)))(1 - (root(3)(n^3 - 1))/(root(3)(n^3 + 2))))`
Выносим `n^3` из первого слагаемого, делим `(root(3)(n^3 - 1))/(root(3)(n^3 + 2))` на `n^3`
`lim(n->inf)((n^3*sqrt(1/(n^6) + 8/(n^6)))/(n^3(root(3)(1/(n^3) + 2/(n^3))))(1 - (root(3)(1 - 1/(n^3)))/(root(3)(1 + 2/(n^3)))))`
Приводим подобные:
`lim(n->inf)(sqrt(1/(n^6) + 8/(n^6))/((root(3)(1/(n^3) + 2/(n^3))))(1 - (root(3)(1 - 1/(n^3)))/(root(3)(1 + 2/(n^3)))))`
Устремляем n -> inf:
`lim(n->inf)(sqrt(1/(n^6) + 8/(n^6))/((root(3)(1/(n^3) + 2/(n^3))))(1 - (root(3)(1 - 1/(n^3)))/(root(3)(1 + 2/(n^3))))) = 1 * 0 = 0`

Если я не ошибаюсь, то тут все верно. Проверь, пожалуйста

[Alidoro]

Сначала о третьем задании. Я не понимаю ваших формул, как можно e^x устремлять к бесконечности? Если вы делаете замену, то какую? Ответ тоже не похож на правду. Нас в свое время учили сводить такой предел ко второму замечательному.

Сейчас посмотрю ваши выкладки по 1.

[Alex TGM]

На занятиях нам говорили, что `1^inf` эквивалента `(x - 1)*n`, где x = 1, если n устремить к бесконечности.
Т.е. второе задание решено верно?
Оу... 1 задание я решил не верно. Сам сейчас нашел ошибку.

[Alidoro]

По первому даже смотреть не буду. Вы знаете, есть стандартный метод домножения на сопряженное выражение (и деления на то же выражение, чтобы дробь не изменилась) В данном случае нужно домножать на неполный квадрат суммы. В числителе получится разность кубов, корни исчезнут и члены с n^3 сократятся. Посмотрите, как подобный с кубичными корнями пример решается в книге Соболь. Практикум по высшей математике с. 264 пример 4 б) reslib.com/book/Praktikum_po_visshej_matematike...

[Alidoro]

3. `lim_(n->oo)((2 + root(n)(7))/3)^n` План решения следующий: У вас скобка стремится к единице, поэтому надо представить скобку как (1+x). Для нахождения x - это будет выражение с участием n - составляете и решаете простое уравнение. Тогда предел можно будет представить в виде: `lim_(n->oo)[(1+x)^{1/x}]^{xn}` При этом квадратная скобка стремится к e по второму замечательному, а предел `xn` вычисляете отдельно. При вычислении последнего предела могут возникнуть свои трудности.

[Alidoro]

5. Правильно. Но в русскоязычной литературе о верхней и нижней грани последовательностей не говорят. Это называют верхним и нижним пределом последовательности. и обозначают lim с чертой вверху или внизу. Так что если вы будете смотреть в нашей литературе, то увидите символы inf и sup только для множеств. Смотрите, например, в Википедии "верхняя грань". В американских учебниках по анализу принято писать, как у вас.

[Alex TGM]

А на счет 4 и 6 что можете сказать?

[Alidoro]

4. Это для заданного большого числа K надо предложить алгоритм или формулу для вычисления N, такого что для любого n>N будет |an|>K. Это я практически точно повторил определение того, что an стремится к бесконечности.

6. Можно использовать, что косинус по модулю не превышает единицы и доказывать абсолютную сходимость ряда, заменив косинус единицей. Если разложить член ряда на разность двух дробей со знаменателями 2n+1 и 2n+3 с правильно подобранными числителями, то удастся вычислить сумму отрезка ряда. А уже вычисленную сумму отрезка легко оценить сверху, если отрезок расположен достаточно далеко от начала ряда (критерий Коши).

[Гость]

Вычислите: lim n→∞ 10n^3+n-5/2n^3-5n+4 помогите плиз...

[Alidoro]

Новая задача - новая ветка. К тому же это чужая ветка.
Вступите в сообщество, создайте топик, задачу запишите с помощью скрипта (чтобы мы видели формулу, а не расшифровывали вашу запись), приведите свои попытки решения, тогда будет возможен разговор.