Задача по ан. геометрии

[Ruzveld83]

`TZ`В основании тетраэдра - треугольник с вершинами А(3;2;1), В(2;3;1); С(4;1;2), точка М(2;2;2) - вершина тетраэдра. К боковым граням восстановлены векторы внешних нормалей, длина каждого из которых равна площади соответствующей грани. Найдите сумму этих векторов.[[/TZ]]
Я решал так:
Вектор внешней нормали к грани - это векторное произведение двух векторов, лежащих на ребрах соответствующей грани (очередность множителей я определял по правилу правого винта)
Площади грани - это площадь треугольника, т.е. половина векторного произведения, описанного выше.
Сумма векторов получается такая:
([MBxMA] + [MCxMB] + [MAxMC])/2 = ([(0;1;-1)x(1;0;-1)] + [(2;-1;0)x(0;1;-1)] + [(1;0;-1)x(2;-1;0)])/2 = ((-1;-1;-1)+(1;2;2)+(-1;-2;-1))/2 = (-1;-1;0)/2=(-1/2;-1/2;0)
Проверьте, пожалуйста, решение.
Пишу, потому что, если облажаюсь в этой задаче, то придется переписывать всю контрольную и уже не дома)

@темы: Аналитическая геометрия

Comments

[Robot]

Я лично считаю, что задачу требовалось решить совсем без рисунков.
И мне бы очень хотелось послушать идею Алисы

[Ruzveld83]

Да, извиняюсь, тупанул.
Перепутал расположение осей в стандартной тройке)
тогда, полагаю, вопрос закрыт.
Всем спасибо за помощь!

[Alisa_Selezneva]

Пусть `2*vec(n)` - это искомый внешний вектор нормали к плоскости `(MAB)`. Сначала найдём векторное произведение `vec(t)=vec(MA) times vec(MB)`. Этот вектор либо равен вектору `vec(n)`, либо ему противоположен. Чтобы это выяснить, воспользуемся тем фактом, что вектор `vec(n)` и вектор `vec(MC)` расположены в разных полупространствах относительно плоскости `(MAB)`, поэтому тройки векторов `vec(MA)`, `vec(MB)`, `vec(n)` и `vec(MA)`, `vec(MB)`, `vec(MC)` имеют разный характер (одна из них левая, а другая правая). Далее находим смешанное произведение `(vec(MA),vec(MB),vec(MC))=(vec(MA) times vec(MB))*vec(MC)`. Если это смешанное произведение получилось отрицательным, то тройка векторов `vec(MA),vec(MB),vec(MC)` - левая. Тройка векторов `vec(MA)`, `vec(MB)`, `vec(t)` - правая. В этом случае ` vec(n)=vec(t)`.
Если же тройка векторов `vec(MA),vec(MB),vec(MC)` - правая, то ` vec(n)=-vec(t)`.
Далее вычисления проводятся аналогичным образом, только скалярные произведения считать больше не придётся, поскольку смешанное произведение векторов `vec(MA),vec(MB),vec(MC)` мы уже посчитали. Там может изменится только знак смешанного произведения из-за перестановок векторов `vec(MA),vec(MB),vec(MC)`.

[Robot]

Alisa_Selezneva
огромное спасибо!
У меня в моих рассуждениях смутный момент был в одном месте - достаточно ли один раз посчитать смешанное произведение (выяснить, правая или левая тройка МА, МВ, МС) и сделать схематический чертеж, а затем ориентироваться на него. Или же для каждой грани надо повторять рассуждения.
Судя по Вашему решению, это все же надо делать для каждой грани.

[Alisa_Selezneva]

Пожалуйста, Robot! Всегда рада помочь!

[Heor]

Robot
Не надо. Смотри. Если тройка правая и вектора взаимноперпендикулярны, то
`[vec(OX),vec(OY)]` сонаправлен с `OZ`
`[vec(OY),vec(OZ)]` сонаправлен с `OX`
`[vec(OZ),vec(OX)]` сонаправлен с `OY`
Если левая, то противоположно направлен.

Теперь, рассмотрим грань `(MAB)` и вектор `MC`. Любой вектор `MC` можно разложить на вектор лежащий в плоскости `(MAB)` и нормальный к ней `vec(MC_n)`. Очевидно, что этот самый вектор `vec(MC_n)` будет сонаправлен с внутренней нормалью. Иначе никак не получится замкнутая система.

Соответственно, если тройка `vec(MA), vec(MB), vec(MC)` правая, то
`[vec(MA), vec(MB)]` даст вектор сонаправленный с `vec(MC_n)`, т.е. внутреннюю нормаль.
Если тройка левая, то вектора `[vec(MA), vec(MB)]` и `vec(MC_n)` будут противоположно направлены.

Т.е. достаточно только один раз определить правая у нас тройка или нет.

[Robot]

Heor Да я понимаю, что определить, что правая или левая нужно один раз. И Алиса пишет об этом.
Просто мы все время говорим в качестве примера о грани МАВ и о тройке векторов МА, МВ, МС
Вот обоснуй мне рассуждения далее с переходом к грани МВС, почему мы берем в качестве вектора внешней нормали [MC,MB], а не [MB,MC]
Без ссылок на какие-либо чертежи. По-видимому, без повторения рассуждений, подобных выполненным для грани МАВ, не обойтись. Пользоваться же тем, что мы знаем уже, какая тройка МА, МВ, МС мы можем.

[Alidoro]

Интересно, что задачу можно решить из физических соображений. Если представить, что внутри тетраэдра находится воздух под некоторым давлением, то вектор на грани будет представлять собой силу давления этого воздуха изнутри на грань (в некоторых единицах). Поскольку внутреннее давление не вызывает перемещения тетраэдра, то сумма векторов равна нулю.

[Integr@l]

Я отвечу. Достаточно один раз определить, в какой полуплоскости находится вершина относительно основания.

[Integr@l]

Alidoro

то сумма векторов равна нулю

Это я и имел в виду в своём самом первом коменте

[Heor]

Robot
Собственно, тогда рассмотрим МВС. Внутренняя нормаль будет со направленна с `vec(MA_n)`.

Пользоваться же тем, что мы знаем уже, какая тройка МА, МВ, МС мы можем.

Вполне можем. Правость тройки определяет три векторных произведения. Как я уже писал выше.
В данном случае, если тройка правая, то со направленным `vec(MA_n)` будет `[vec(MB), vec(MC)]`.
А значит, что внешней нормалью будет `[vec(MC), vec(MB)]`.

Если же тройка левая, то внешним будет вектор `[vec(MB), vec(MC)]`.

Собственно, по определению, если тройка правая, то
`[vec(MA), vec(MB)]` со направлен с `vec(MC_n)`
`[vec(MB), vec(MC)]` со направлен с `vec(MA_n)`
`[vec(MC), vec(MA)]` со направлен с `vec(MB_n)`

Для левой они будут противоположно направлены.

[Robot]

Heor
Вот видишь, рассуждения

все же надо делать для каждой грани

[Alidoro]

Школьник мог бы решать задачу так: Опустим высоту MO. Треугольник OAB является проекцией боковой грани и поэтому его площадь может быть получена из площади боковой грани умножением на косинус угла наклона боковой грани к основанию. Но этот угол равен углу, который составляет нормаль этой грани с высотой. Поэтому проекция этой нормали на высоту численно равна площади проекции грани и направлена вверх. Сумма трех проекций нормалей равна площади треугольника ABC, который составлен из проекций граней, и, поэтому, уравновешивается проекцией нормали основания на высоту, которая направлена вниз (нормаль основания в данном случае просто совпадает со своей проекцией) и численно равна площади основания ABC. Таким образом, мы обнаруживаем, что сумма проекций нормалей, а значит и проекция суммы нормалей на высоту равна нулю. Но в тетраэдре четыре высоты. Так что проекция суммы нормалей на четыре (нам достаточно три) некомпланарных прямых равна нулю. Отсюда заключаем, что сам вектор равен нулю. Последнее заключение, возможно, для школьника будет недоступно. Уж не знаю, как им преподают вектора и доказывают ли какие-то теоремы о базисах.

[Heor]

Т.е. Вы говорите, что Ruzveld83 не верно посчитал? Хм. Надо подумать, но рассуждения Alidoro верны.

[Alidoro]

Heor А у него разве не нуль получился? Я даже не обратил внимания. То что получится нуль очевидно из физических соображений. Я писал об этом выше 2010-11-15 в 00:44. И Integr@l со мной согласился. Поэтому для меня даже и вопроса такого не возникло.

[Alidoro]

Вот такое рассуждение может помочь. Множитель 1/2 я для простоты опустил. Также в зависимости от ориентации везде может понадобиться знак минус.
[MA,AB]+[MB,BC]+[MC,CA]=[MA,AB]+[MA+AB,BC]+[MA+AC,CA]=
[MA,AB]+[MA,BC]+[AB,BC]+[MA,CA]+[AC,CA]=[MA,AB+BC+CA]+[AB,BC]+[AC,CA]=[AB,BC]=-[BC,AB]

Heor Нет у него всё правильно. Он суммировал нормали только боковых граней. А я еще добавлял нормаль основания. Я здесь только путаницу внес. Извините.

[Robot]

Мне вчера Integr@l те же рассуждения по u-mail приводил
Только у него как-то в одну строчку все это уместилось=)

[Alidoro]

Robot Как бы то ни было, Ruzveld83 должен был сначала выжать максимум из свойств векторного произведения, и только потом подставлять свои цифры.

[Гость]

Кстати, в школе это не проходят.