Задача по ан. геометрии

[Ruzveld83]

`TZ`В основании тетраэдра - треугольник с вершинами А(3;2;1), В(2;3;1); С(4;1;2), точка М(2;2;2) - вершина тетраэдра. К боковым граням восстановлены векторы внешних нормалей, длина каждого из которых равна площади соответствующей грани. Найдите сумму этих векторов.[[/TZ]]
Я решал так:
Вектор внешней нормали к грани - это векторное произведение двух векторов, лежащих на ребрах соответствующей грани (очередность множителей я определял по правилу правого винта)
Площади грани - это площадь треугольника, т.е. половина векторного произведения, описанного выше.
Сумма векторов получается такая:
([MBxMA] + [MCxMB] + [MAxMC])/2 = ([(0;1;-1)x(1;0;-1)] + [(2;-1;0)x(0;1;-1)] + [(1;0;-1)x(2;-1;0)])/2 = ((-1;-1;-1)+(1;2;2)+(-1;-2;-1))/2 = (-1;-1;0)/2=(-1/2;-1/2;0)
Проверьте, пожалуйста, решение.
Пишу, потому что, если облажаюсь в этой задаче, то придется переписывать всю контрольную и уже не дома)

@темы: Аналитическая геометрия

Comments

[_ТошА_]

По правилу правого винта - верно. Чтобы точно не ошибиться, можно схематично нарисовать пирамиду и понять какие вектора перемножать. Сейчас посмотрю

[Robot]

_ТошА_
Я уже в модераторской поставила вопрос
Ведь вроде еще зависит от того, как расположены точки А, В, С по часовой или против часовой

[_ТошА_]

Посчитано и расставлено верно.
Robot
? картинку же достаточно нарисовать

[Robot]

Схематичную или строгую?

[Heor]

Достаточно и схематичной. Вектор внешней и внутренней нормали будет отличаться только знаками.

[Ruzveld83]

Спасибо
Рисунок я делал, как раз по нему и ориентировался.
Да, наверное, от расположения точек это тоже зависит (у меня на рисунке они против часовой стрелки).
Но при построении по точкам, ответ должен быть однозначным.
Тогда интересно, как выбрать очередность.

[Robot]

Heor это понятно
Но вот при такой "схематичной пирамиде" вектор внешней нормали к грани МАВ равен [MA,MB]

[Ruzveld83]

Heor
Но (1/2; 1/2; 0) и (-1/2;-1/2; 0) - разные векторы, в ответе должен быть какой-то конкретный из них.

[Robot]

Ruzveld83 +1

[Robot]

Ruzveld83
Я думаю, что здесь сначала надо определить - правую или левую тройку образуют сами векторы МА, МВ, МС

[Heor]

Ruzveld83
От расположения точек зависит направление МА, МВ, МС. Точнее, даже от того над плоскостью АВС точка М или под ней.
А векторное произведение зависит уже от направлений МА, МВ, МС.

И мне показалось, что у Вас там все же ошибка с гранью МСВ. Сейчас гляну внимательнее.

Robot
Подождите секунду. Сейчас все опишу. А то я не успеваю за Вашими вопросами.

[_ТошА_]

Галя, нарисуй это в системе координат Oxyz. Честно по точкам

[Robot]

Ruzveld83
Ваше решение соответствует случаю, когда МА, МВ и МС образуют сами правую тройку векторов
Мой схематичный рисунок соответствует ситуации, когда эта тройка левая

Определить конкретно, какая у вас тройка, можно с помощью смешанного произведения, кажется, для правой тройки оно положительно, а для левой отрицательно. Нужно посмотреть в учебнике

[Heor]

[MBxMA] - внешний
[MCxMB] - внутренний внешний
[MAxMC] - внешний

Не помню дают ли это в математике. Но физик в 9-ом классе учил нас следующим образом.
c = [axb]
Если вектор b входит в ладонь, а пальца левой руки указывают направление вектора a, то отставленный большой палец укажет направление вектора c.
Называлось правилом левой руки.

[_ТошА_]

[MCxMB] - внутренний

Почему? штопор выкручивается по картинке

[Heor]

[MCxMB] - внутренний

Внешний. Все же ошибся.

[Heor]

_ТошА_
Внешний. Внешний. Все правильно.

[Heor]

Определить конкретно, какая у вас тройка, можно с помощью смешанного произведения, кажется, для правой тройки оно положительно, а для левой отрицательно. Нужно посмотреть в учебнике

Смешанное произведение положительно, если тройка правая, и отрицательно, если эта тройка левая. Так что все верно.

[Ruzveld83]

смешанное произведение векторов MA, MB, MC равно 1, следовательно, тройка правая
Значит, я выбрал неправильную очередность множителей, и ответ получается противоположный, я правильно понял?
Если нет, та как тогда выбрать эту очередность, зная, что тройка правая, а то голова совсем отказывается думать уже)

[Heor]

Ruzveld83
Вы выбрали правильную очередность. Ваше решение верное.

[_ТошА_]

Ruzveld83 всё верно, я вам уже писал это

[Integr@l]

Господа!
Положение точки M относительно основания ABC определяет лишь знак результата, но не его модуль.

[Robot]

Integr@l
А здесь не модуль нужен

Найдите сумму этих векторов

[Heor]

Так. Может перенесем куда-то обсуждение? Что бы человека не запутывать. Он-то все верно решил.

[Robot]

Heor
Его решение необосновано
Я со второго коммента топика об этом говорю
туда надо внести обоснование
надеюсь, сейчас ему понятно, как обосновывать

[Integr@l]

Давайте перенесём обсуждение. Я считаю, что задача не решена.

[Ruzveld83]

Robot
Все-таки, по-моему, на вашей схеме выше изображена правая тройка МА, МВ и МС - именно та, по которой мне нужно определять очередность, значит мой первоначальный ответ противоположен правильному.

[Alisa_Selezneva]

Задачу вообще можно решить без рисунка, а только делая вычисления!
Для этого всего навсего нужно вычислить три векторных произведения и одно скалярное!

[_ТошА_]

Ruzveld83
Возьмите, пожалуйста, листок в клеточку. нарисуйте стандартную координатную тройку.
Затем нанесите на координатную плоскость точки A, B, C и M. Соедините их, исходя из условия. После чего посмотрите, что всё сделали верно

[Heor]

Robot
Извини, пожалуйста, я тебя не понял.
Да. Обоснование необходимо, хоть какое-то.

Ruzveld83

Все-таки, по-моему, на вашей схеме выше изображена правая тройка МА, МВ и МС

На схеме левая тройка. Можете легко в этом убедиться.

Alisa_Selezneva
Можно!