Линейная зависимость/ранг системы/базу

[Alex TGM]

Помогите найти ошибку: Узнать линейно зависима/независима ли система найти ее ранг и базу:

Многочлены:
`f_1(t) = 2t - i`
`f_2(t) = t + i`
`f_3(t) = 2t - 1`
`f_4(t) = t + 1`

Мое решение:
`x_1f_1 + x_2f_2 + x_3f_3 + x_4f_4 = 0`
`x_1(2t - i) + x_2(t + i) + x_3(2t - 1) + x_4(t + 1) = 0`

`t(2x_1 + x_2 + 2x_3 + x_4) + (i + 1)(-x_1 + x_2 - x_3 + x_4) = 0`

`(( 2 \ \ \ 1 \ \ \ 2 \ \ \ 1),(-1 \ \ \ 1 \ \ \ -1 \ \ \ 1))` - линейно зависима. Не база

`rank (f_1,f_2,f_3,f_4) < 4`

Дальше я проверял тройки `(f_1,f_2,f_3 , f_1,f_2,f_4, f_2,f_3,f_4 ...)` - они все тоже были линейно зависимы...
Затем двойки, которые тоже были зависимы.

Это я чего-то не так делаю, или задача некорректная?

@темы: Линейная алгебра, Комплексные числа

Comments

[Alidoro]

Двойки должны быть линейно-зависимы.

[Alex TGM]

up

[Robot]

Не очень разобралась в вашем способе решения
Во-первых, над каким полем рассматривается ваше пространство многочленов?

[Alidoro]

Robot Я так понял, что над полем комплексных чисел.
Alex TGM не продемонстрировал нам, как он определил, что двойки линейно независимы. Тогда можно будет указать в каком месте он ошибся.
Зависимость он определял поиском ненулевых коэффициентов для нулевой линейной комбинации. Но бросил их искать без пояснений, когда понял, что ненулевые коэффициенты из получившейся системы могут быть найдены. Или он это не понял, но я не стал придираться.

[Robot]

Мне кажется, что лучше задать векторы координатами в некотором базисе и искать ранг системы координатных строк

[Alidoro]

Robot Естественно, лучше. Но для этого надо знать о стандартном базисе пространства многочленов. А потом, это для нас привычнее с матрицами работать. А у них, возможно, так решали на занятиях, раз он делает именно так.

Короче, если нам дадут пояснения, то будет ясно, что посоветовать.

[Alex TGM]

Забыл я о теме...
Если ее кто-нить ещё читает:
как вариант может быть решение типа:
`e_1 = t ; e_2 = 1 : e_3 = i` Затем выразить через них линейную комбинацию вида:

`x_1 = ( 2 \ \ \ -1 \ \ \ 0 )`
`x_2 = ( 1 \ \ \ 1 \ \ \ 0 )`
`x_3 = ( 2 \ \ \ 0 \ \ \ -1 )`
`x_4 = ( 1 \ \ \ 0 \ \ \ 1 )`

Где первый столбец `e_1`, второй столбец `e_2`, третий столбец `e_3`???

и в итоге получит матрицу:

`(( 2 \ \ \ -1 \ \ \ 0 ),( 1 \ \ \ 1 \ \ \ 0 ),( 2 \ \ \ 0 \ \ \ -1 ),( 1 \ \ \ 0 \ \ \ 1 ))`

???

[Alidoro]

Вы забыли ответить на вопросы. Над каким полем у вас линейное пространство?

[Robot]

Alex TGM
Это все неправильно
Потому что при любом ответе на вопрос Alidoro базисных векторов будет не 3 (а 2 или 4)

[Alex TGM]

Над полем комплексных чисел.

[Alidoro]

Тогда `e_3=i e_2`, и `(e_1, e_2, e_3)` не является линейно независимой системой и не составляет базис. Т. о. линейная независимость строк вашей матрицы не означает линейной независимости соответствующих многочленов.

[Alex TGM]

Тогда надо брать `(1 + i)` за `e_2`?
Тогда система `(e_1,e_2)` будет линейно не зависимой и будет являться базисом?

[Robot]

Alex TGM
Если у вас над полем С, то стандартный базис в пр-ве многочленов степени не выше первой с комплексными коэффициентами над полем С (а у вас такие мн-ны, что мы можем рассматривать именно это пр-во) состоит из векторов `e_1=1` и `e_2=t`
Всякие `i`, `1+i` - это скаляры из поля С, а не векторы

Если у вас над полем R, то в качестве стандартного базиса пр-ва многочленов степени не выше первой с комплексными коэффициентами берутся `e_1=1, e_2=i, e_3=t,e_4=it`

[Alex TGM]

А какая тогда во втором случае будет матрица?

[Robot]

А зачем вам второй случай, когда вы сказали, что у вас над С?

[Alidoro]

Для комплексного случая со стандартным базисом будет матрица с двумя столбцами. Но элементы матрицы будут комплексные.

[Alex TGM]

Можете написать решение для обоих случаев, чтобы я хоть что-нибудь понял?

[Robot]

Ну, вот, например, если над полем С
e1=1, e2=t
Многочлен g=1-i +(1+i)t будет раскладываться по векторам базиса
g=(1-i)e1+(1+i)e2
значит его координатная строка будет
g -> (1-i, 1+i)
И вот так можно каждый мн-н разложить, поставить в соответствие координатную строку, а затем записать матрицу из координатных строк
Ранг этой матрицы будет равен рангу данной системы векторов, ненулевым строчкам ступенчатой матрицы, полученной из данной, будет соответствовать базис исходной системы.

Если над R, то базис `e_1=1, e_2=i, e_3=t,e_4=it` и g уже будет раскладываться g = 1-i +(1+i)t= 1-i+t +it= 1*e1-1*e2+1*e3+1e4 -> (1, -1, 1,1)
И далее аналогично

Посмотрите Нечаев Литература по линейной алгебре

[Alex TGM]

Robot, к сожалению, мне не понятна ваша методика решения. На занятиях мы решаем методом, представленным в книге Нечаева.

[Robot]

Значит, пока еще не дошли до этого метода. В книге нечаева есть пример на стр. 68, в котором делается через координатные строки

Тогда делайте так, как у нечаева на стр. 53