Было на турнире городов

[bird may be known by its song]

В произвольном пятиугольнике длину каждой стороны разделили на сумму длин оставшихся четырех сторон. Докажите, что сумма пяти полученных дробей меньше 2.

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[Диана Шипилова]

Для правильного пятиугольника это утверждение неверно.

[Гость]

5/4?

[Диана Шипилова]

Гость
Ох, простите, что-то я обсчиталась((

[Гость]

Диана Шипилова , сначала и я ...)

[s_tat]

`a/(b+c+d+e)<(a+a)/(a+b+c+d+e)`
И т. д.

[VEk]

Примерно так.
Сумма длин любых четырех сторон не меньше полупериметра ( доказывается на основании неравенства треугольника). Тогда `(a_i)/(sum_(j!=i) a_j) <=(a_i)/p`. `p` - полупериметр . Теперть суммируем и получаем требуемую оценку.