Тригонометрия. Системка.

[alexa125]

Я что-то неног подзабыла
sin(x)+sin(y)=1
Cos(x)+cos(y)=1
Система.
Я воспользовалась формулой сумма тригонометрических функций.
Вот что получилось: 2 sin(x+y)/2*cos(x-y)/2=1
2 cos(x+y)/2*cos(x-y)/2=1

Что дальше делать? Можно вычесть одно из другого, конечно, а толку..?
Помогите, пожалуйста.

@темы: Тригонометрия

Comments

[Trotil]

sin(x)+sin(y)=1
Cos(x)+cos(y)=1

Как вариант, возведи в квадрат и сложи.

[alexa125]

Вот так что ли:
sin^2(x)+2sin(x)sin(y)+sin^2(y)=1
Cos^2(x)+2cos(x)cos(y)+cos^2(y)=1
1+4sin(x)sin(y)cos(x)cos(y)+1=2

Так???

[Trotil]

Не так. Нужно без ошибок сделать.

[alexa125]

Возвести в квадрат ВСЕ? или первое выражение?

[Trotil]

Возвести в квадрат ВСЕ? или первое выражение?

Можно попробовать несколько вариантов, если считаешь нужным и выбрать среди них такой, который будет проще всего решить.

[Robot]

sin^2(x)+2sin(x)sin(y)+sin^2(y)=1
Cos^2(x)+2cos(x)cos(y)+cos^2(y)=1
Сложите и приведите подобные
Используйте формулу косинуса разности

[alexa125]

Так как я первый раз написала - так проще всего. Только что неправильно - не поняла?
В квадрат я верно возвела. Sin^2(x)+cos^2(x)=1; Sin^2(у)+cos^2(у)=1
Вроде все верно..

[Trotil]

Вроде все верно..

Пока верно.

1+4sin(x)sin(y)cos(x)cos(y)+1=2 - а это - нет.

[alexa125]

sin^2(x)+2sin(x)sin(y)+sin^2(y)=1
Cos^2(x)+2cos(x)cos(y)+cos^2(y)=1

sin^2(x)+Cos^2(x)+2sin(x)sin(y)+2cos(x)cos(y)+sin^2(y)+cos^2(y)=2

Значит подобные..
sin^2(x)+Cos^2(x)=1
sin^2(y)+cos^2(y)=1
Верно?
Получаем:
2sin(x)sin(y)+2cos(x)cos(y)=0
2(cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y))=0
cos(x-y)=0

Пока верно?

[Robot]

Верно
теперь выражайте х-у

[alexa125]

Значит:
cos(x-y)=0
x-y=1
x=1+y

Подставляем в первое:
sin(1+y)+sin(y)=1
2(sin(1+2y)/2)cos(1/2)=1
2(sin(1+2y)/2)*пи/3=1

Что-то не так, мне кажется..

[Robot]

alexa125
Батюшки мои!..Вот как можно начинать решать триг. систему, не умея решать триг. ур-я!..
www.bymath.net/studyguide/tri/sec/tri16.htm

[alexa125]

Я забыла просто.. Умела, но забыла.

Что я не так сделала?((

[alexa125]

Вместо этого:
Значит:
cos(x-y)=0
x-y=1
x=1+y

Можно вот так записать:
Значит:
cos(x-y)=0
x-y=пи/2+пи*К
x=пи/2+пи*К+y

Или не в этом дело.. Я запуталась

[Robot]

Да, в этом было дело
Повторите материал

вот это верно
x=пи/2+пи*К+y

[alexa125]

Просто я думала, что лучше единицу взять, чтобы число было!

Ну ладно, тогда дальше

x=пи/2+пи*К+y

Подставляем в первое:
sin(пи/2+пи*К+y)+sin(y)=1

Теперь можно воспользоваться суммой тригонометрический функций:

2*(sin(пи/2+пи*К+2y)/2)(cos(пи/2+пи*К)/2)=1

А далее..?

[Trotil]

А далее..?

Можно посчитать, сколько будет cos(пи/2+пи*К)/2)

[Robot]

alexa125
Нет, тут делается не так
чтобы могли воспользоваться периодичностью функций (sin(t+2pik)=sint, аналогично с косинусом), надо разбить на два случая
1)x=y+pi/2+2pi*k
2)x=y+pi/2+pi+2pi*k =y+3pi/2+2pi*k
И брать каждый случай и подставлять в систему (в оба уравнения), освобождаться от периода и т.д.

[alexa125]

cos(пи/2+пи*К)/2)=1?
Просто пи*к..
cos(пи/4)=1

Так?

[Robot]

Trotil
Если по-твоему, то придется 4 случая рассматривать

[Robot]

cos(пи/2+пи*К)/2)=1?
Просто пи*к..
cos(пи/4)=1

alexa125
Отбрасывать можно число, кратное периоду

[Trotil]

Robot

Ну, тот вариант, что предложила alexa125, тоже возможен. Только с подсчётами опять косяки...

cos(пи/2+пи*К)/2 - нужно подсчитать, какие значение это может принимать (в зависимости от к)

[Robot]

Trotil
Игорь, и так способ сложный
Давай уж лучше попроще как-то
Тем более так как использовалось возведение в квадрат (неравносильное преобразование), то либо надо сразу подставлять в оба ур-я, либо делать проверку

[Trotil]

Пусть alexa125 и выберет. А я спать пошел, устал.

[alexa125]

Хорошо, берем 1 случай:
1)x=y+pi/2+2pi*k

sin(y+pi/2+2pi*k)+sin(y)=1
Cos(y+pi/2+2pi*k)+cos(y)=1

Освобождаемся от периода..

sin(y+pi/2)+sin(y)=1
Cos(y+pi/2)+cos(y)=1

2sin(y+pi/4)cos(pi/4)=1
2cos(y+pi/4)cos(pi/4)=1

Пока верно?

[Гость]

Robot, можно сделать так, как начала делать alexa125 в самом начале, т.е. применить формулы суммы синусов и суммы косинусов, а потом разделить почленно первое уравнение на второе.

[Robot]

alexa125
Зачем вы все время переходите к произведению?
Так можно, но тогда Вам придется делить ур-я друг на друга и переходить к тангенсу
Лучше
sin(y+pi/2)+sin(y)=1
Cos(y+pi/2)+cos(y)=1

Используем формулы приведения
cos(y)+sin(y)=1
-sins(y)+cos(y)=1

[Robot]

Гость
Я это знаю
И когда мы бы дорешали этим способом, я это сказала бы
Просто мы идем по пути, который проложил Тротил

[alexa125]

Там бы получилось (tg(x+y)/2)=1
Побыстрее немного.

[Robot]

alexa125
Да, побыстрее
Но что поделаешь)))
Тротил сбил с пути истинного и ушел спать
Сусанин
Давай уж сделаем двумя способами что ли?