[longedok]

`TZ`Доказать, пользуясь отрицанием определения предела последовательности:
`lim_(n->inf)(3n+1)/(n^2+6) != 1`[[/TZ]]
Само отрицание определения:
`EE epsilon>0: AAN` натуральных `EEn>N => |a_n - a| >= epsilon`
Метод, который нам показал преподаватель, заключается в отыскании некоторого числа, меньшего либо равного выражению `|(3n+1)/(n^2+6) - 1|` (эпсилона), путём всяческих преобразований этого выражения (то есть, заменяя в исходном выражении большее меньшим. Результатом таких замен и должен стать искомый эпсилон).
В универе разобрали пример, всё хорошо, а вот дома как-то не получается. Привожу ход своего решения:
`|(3n+1)/(n^2+6) - 1| = |(n(3 - n) - 5)/(n^2+6)| >= (n(3 - n) - 5)/(n^2 + 6)`
Ну совсем ничего в голову не приходит, по поводу какой-либо замены.

@темы: Пределы

Comments

[_ТошА_]

А замены не надо, надо что-то отбросить, чтобы получить число
`|(-n^2 + 3n - 5)/(n^2 + 6)| = |(n^2 - 3n + 5)/(n^2 + 6)| >= |(n^2 + 3n + 6 - 6n - 1)/(n^2 + 3n + 6)| = |1 - (6n + 1)/(n^2 + 3n + 6) |`

подумайте, как оценить последнее. Вспомните, какими могут быть n

[longedok]

_ТошА_ Ну да, про замену я неправильно выразился .
Большое спасибо за наводку.

[_ТошА_]

longedok получили ответ?

[longedok]

_ТошА_ Нет. Ну, то есть, не успел получить ещё. Через 5 мин. надо быть в унивире, там и постараюсь дорешать.

[longedok]

_ТошА_
Ну вот, как-то так:
`|1 - (6n+1)/(n^2+3n+6)| >= 1 - (6n+1)/(n^2+3n+6) > 1 - (6n + 1)/n^2 >= 1 - (6n + n)/n^2 = 1 - 7/n > 1 - 7/8` и это справедливо `AAn>7`

[_ТошА_]

Ну можно и так, хотя всё гораздо проще.
`(6n+1)/(n^2 + 3n + 6)` ф-я монотонно убывающая после n = 2 (с каждым `n in N` знаменатель растёт намного быстрее числителя, если не верите, можно и производной посмотреть)
А значит своё максимальное значение `(6n+1)/(n^2 + 3n + 6)` будет принимать при наименьшем n, то есть n = 1 n = 2
отсюда:
`|1 - (6n+1)/(n^2 + 3n + 6)| >= |1 - 13/16| = 3/16`

[longedok]

_ТошА_ Наибольшее значение в двойке будет . А вообще да, я думал точно так же, но решил уточнить у преподавателя. Она мне расписала вот так вот.

[_ТошА_]

longedok Да?
Значит я невнимателен. Надо пользоваться производной