ЕГЭ С6

[Loneliness17]

Cуществует ли натуральное число, квадрат котороо имеет сумму цифр, равную 2009?

@темы: ЕГЭ, Теория чисел

Comments

[_ТошА_]

Ваши идеи, попытки?

[Equilibrio.]

не существует, т.к. 2009=3*669+2

[Loneliness17]

Нашел теорему, что существуют определенные суммы цифр, при которых такое число существует. Такие числа являются простыми, и к ним можно перейти от 2009. НО вся проблема в том, что такое решение без доказательства данной теоремы не зачтут. Кроме того, для ЕГЭ должно быть решение более "поверхностное"

[Loneliness17]

Equilibrio, не понял логики.

[Диана Шипилова]

Loneliness17
Подумайте, каким может быть остаток от деления на 3 у квадрата.

[noil]

В сообществе уже была подобная задача, она разбиралась, я сам только сейчас для себя сделал открытие ))

[Equilibrio.]

`n^2` либо делится на 9, либо при делении на 3 дает в остатке 1

Если `n=3k`, то `n^2=9k^2`; если `n=3k-1`, то `n^2=9k^2-6k+1=(3k-1)^2`, если `n=3k+1`, то `n^2=9k^2+6k+1=(3k+1)^2`

[Гость]

А почему n=3k, а не 4к или 17к ?

[Диана Шипилова]

Гость
Потому что в задаче говорится о сумме цифр, а только делимость на 3 и 9 инвариантна относительно этого действия.