интегрирование sqrt(1-sinx)

[534]

Для того чтобы проинтегрировать нужно сначала заменить {u=1-sinx; du=-cosxdx; dx=-du/sinx}; вот, а дальше в считалке пишет, что получаем integral -1/sqrt(2-u) du!
а как мы получили это никак не пойму. помогите плз

@темы: Математический анализ, Интегралы

Comments

[_ТошА_]

эммм.
А может вы лучше так сделаете:
2cos^2(x) = 1-sin(2x)

То есть у нас:
`int sqrt(2cos^2(x/2))dx = sqrt(2)*int cos(x/2)dx`
Что табличное
Смотри ниже. Формула не та Оо

Насчёт того, что получили вы...
Непонятно, чем это помогает. И ещё: du=-cosxdx; dx=-du/sinx
Как у вас косинус в синус перелез?

[VEk]

Здесь , наверное, проще использовать 'любимую тригонометрию'.
`sqrt(1-sinx)=sqrt(1-cos(Pi/2-x))=sqrt(2sin^2(Pi/4-x/2))=sqrt(2)*|sin(Pi/4-x/2)|` или `sqrt(1-sinx)=|sin(x/2)-cos(x/2)|`
Обе приведенные формулы дают один результат с точностью до произвольной постоянной

[Alidoro]

Ну, делаете замену, которую вы написали, и все должно получиться. Правда у вас dx неправильно написано.

[534]

Alidoro, да, там dx=-du/cosx
я не понимаю откуда там 2 появилась

[534]

при просто подстановке после замены получается sqrt(u)du/-cosx. а как отсюда вылезло sqrt(2-u)?

[Alidoro]

cos x надо выразить через u - нельзя же так оставлять. Вы вынуждены будете выразить косинус через синус, а это корень из 1 - синус квадрат.

[_ТошА_]

Дальше то решайте

[534]

что-то мозг вообще остановился, но с вашей помощью разобрался. Спасибо!

[534]

а вот у меня еще один вопрос: мне нужно было найти среднее значение функции f(x)=cos^4 на отрезке [o;pi]
это то есть посчитать интеграл в этих пределах,так? или нет? а то у меня выходит что выражение = 0!

[Alidoro]

Для среднего есть много разных определений. Если проинтегрировать вашу функцию, то 0 не получится.

[534]

в самом конце я получаю: 2sqrt(sinx+1)|from 0 to pi=2*1-2*1=0
sin pi=0
sin 0=0

[534]

считалка выдает результат=1,6

А в чем я ошибся?

[Alidoro]

А в чем я ошибся?

Мне трудно сказать, я же не вижу ваше решение. Я только вижу, что cos^4 за исключением нескольких точек положительна, и интеграл должен быть положительным.

[534]

после замены я получил, как уже писал, du/sqrt(2-u), далее опять замена {2-u=s; du=-ds},подставляем и получаем ds/sqrt(s). а интеграл от ds/sqrt(s)=2sqrt(s), дальше возвращемся к замене: 2sqrt(2-u). Дальше расписываем (2-u) как (1+(1-u))=1+sinx => получаем результат интеграла 2sqrt(1+sinx). потом подставляя пределы, получаем что 2sqrt(sin pi+1)- 2sqrt(sin 0 +1), так как sin pi & sin 0 =0 то получаем 2*1-2*1=0
вот мое решение

[Alidoro]

Правильное решение. Но вы стали говорить о другом интеграле, от cos^4.
Я про него и говорил. Или я чего-то не понял.

[534]

это я вас и себя запутал окончательно) Простите ради Бога)