Под обрезанием выпуклого $n$-угольника будем понимать выбор пары смежных сторон $AB, BC$ и замены их на отрезки $AM, MN,$ и $NC,$ где $M$ --- середина $AB$ и $N$ --- середина $BC.$ Другими словами, мы отрезаем треугольник $MBN$ для получения выпуклого $(n+1)$-угольника. Правильный шестиугольник $P_6$ площади $1$ обрезается для получения семиугольника $P_7.$ Далее $P_7$ снова обрезается (одним из семи возможных способов) и получается восьмиугольник $P_8,$ et cetera. Докажите, что, вне зависимости от выбора вариантов обрезания, площадь $P_n$ больше $\frac{1}{3}$ для всех $n\ge6$.
|
|