В $n$-элементной последовательности $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ каждый элемент равен 0 или 1. Назовем такую последовательность бинарной последовательностью длины $n$. Пусть $a_n$ равно равно количеству бинарных последовательностей длины $n,$ не содержащих трёх последовательных членов равных 0, 1, 0 (в этом порядке). Пусть $b_n$ равно количеству бинарных последовательностей длины $n,$ не содержащих четырёх последовательных членов равных 0, 0, 1, 1 или 1, 1, 0, 0 (в этом порядке). Докажите, что $b_{n+1} = 2a_n$ для всех положительных целых чисел $n.$