Для непустого множества действительных чисел $S$ пусть $\sigma(S)$ обозначает сумму элементов $S$. Дано множество $A,$ состоящее из $n$ положительных целых чисел. Рассмотрим набор всех различных $\sigma(S),$ получающихся при их вычислении для всех $S,$ являющихся непустыми подмножествами $A$. Докажите, что этот набор сумм может быть разбит на $n$ классов так, что в каждом классе отношение большей суммы к меньшей не превосходит 2.